Uma corda de L c = 20   c m de comprimento tem densidade linear de massa igual a 10   g / m .

  1. Qual deve ser a tensão da corda se seu segundo harmônico tiver a mesma frequência que o segundo modo de ressonância de um tubo de L T = 1,5   m de comprimento aberto em apenas uma extremidade?
  2. Considere a corda estiver vibrando em um modo estacionário descrito pela equação,

y x , t = 0,01   m   s e n 20 π x cos ⁡ 640 π t

Sendo x dado em metros e t em segundos. Quantos antinodos podem ser observados na corda?

Dado: v s o m = 340 m / s

Passo 1

a):

O segundo harmônico da corda deve ter a mesma frequência que o segundo harmônico do tubo sonoro. Vamos primeiro calcular a frequência desse tubo sonoro fechado:

f t u b o = ( 2 n - 1 ) v s o m 4 l

Sendo:

v s o m = 340 m / s

n = 2

l = L T = 1,5 m

f t u b o = 3 . 340 4 . 1,5 = 170 H z

Essa frequência deve ser igual à frequência da corda:

f c o r d a = ( 2 n - 1 ) v 4 l

Onde:

v = T μ

n = 2

l = L C = 20 c m = 0.2 m

Logo:

f c o r d a = 3 v 4 . 0,2 = 2,5 v

Vamos deixar em função de v mesmo. Comparando com a frequência do tubo:

2 , 5 v = 1 7 0

v = 68   m / s

Agora basta a agente usar a equação que relaciona a velocidade à tensão e à densidade linear:

T μ = 68

T = 68 2 μ = 4624 . 10 x 10 - 3 = 46,24   N

Passo 2

b):

Bom galera, aqui nós queremos saber quantos antinodos pode surgir na corda, ou seja, quantos ventres pode surgir na mesma.

A gente pode descobrir isso de uma maneira muito simples. Basta lembrar que a forma da equação de uma onda estacionária segue o padrão:

y x , t = A s e n k x cos ⁡ ω t

E que:

k = 2 π λ

Sabendo disso, vamos comparar esse modelo com a equação do enunciado pra descobrir o valor de λ :

k = 20 π = 2 π λ

λ = 1 10 = 0,1

Agora vem a nossa sacada: Numa onda estacionária, pra cada meio comprimento de onda existe um ventre, certo?

Então basta a gente descobrir quantos “meios comprimentos” de onda cabem no comprimento daquela corda. Ou seja:

n λ 2 = L c

n = 2 . 0,2 0,1 = 4

Resposta

a):

46,24   N

b):

4

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