Uma corda oscila no terceiro harmônico, de acordo com a equação y ' =   ( 0,60   m )   s i n [ ( π 3   m - 1 ) x ]   c o s [ ( 33 π   s - 1 ) t ] . Quais são, respectivamente, o comprimento da corda e a velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto x   =   1,2   m para t   =   11 8   s ?

Passo 1

Fala aí, beleza?? Vamos para mais uma questãozinha!

Bom a questão é sobre uma corda que oscila no terceiro harmônico e a questão nos fornece o comprimento de onda dessa corda que é y ' ( x , t ) =   ( 0,60   m )   s i n [ ( π 3   m - 1 ) x ]   c o s [ ( 33 π   s - 1 ) t ] . Em seguida a questão nos pergunta qual é o comprimento da corda e a velocidade transversal de uma partícula da corda em um ponto específico de x   =   1,2   m e t   =   11 8   s . Belezinha até aqui?

Como poderíamos começar a resolver essa questão???

Passo 2

Como vocês já devem ter pensado um pouquinho, bora para nossa resolução. Temos que a equação de ondas estacionárias para o eixo y é do seguinte formato: y   ( x , t )   =   2 A [ s e n ( k x ) c o s ( w t ) ] . Assim, comparando essa equação genérica com a que nos foi fornecida nessa questão descobrimos que :

  2 A [ s e n ( k x ) c o s ( w t ) ]   =   ( 0,60   m )   s i n [ ( π 3   m - 1 ) x ]   c o s [ ( 33 π   s - 1 ) t  

k   =   π 3

Lembrando que k representa o número de onda, ou seja, quantos comprimentos de onda λ possuem em um ciclo de 2 π . Dessa forma:

k   =   2 π λ = π 3  

Portanto poderemos afirmar que λ é:

λ   =   6   m

Entretanto não queremos apenas o comprimento de onda, na verdade queremos saber qual é o tamanho da corda utilizada.

Passo 3

Recapitulando, no passo anterior descobrimos qual é o valor do comprimento de onda e não o tamanho da corda, mas a questão nos deu uma dica. O enunciado diz que a equação y ' se refere a uma onda estacionária que oscila no terceiro harmônico. Assim como a figura a seguir:

Uma onda que oscila no terceiro harmônico significa comprimento da corda é igual três vezes meio comprimento de onda, ou seja,

L   =   3 λ 2

Onde L representa o tamanho da corda.

Como já encontramos o valor do comprimento de onda que é λ   =   6   m , basta substituirmos na equação acima.

L   =   3 λ 2   =   3 ⋅ 6 2   =   9   m

Passo 4

Agora crianças, precisamos encontrar qual é a velocidade transversal de uma partícula da corda em x   =   1,2   m e t   =   11 8   s . Como é desejável encontrar a velocidade em um ponto específico da corda é ideal derivarmos a expressão de comprimento para em seguida substituirmos com os valores dados. Bora botar a mão na massaaaa!

v ( x , t )   =   - ( 33 π   s - 1 ) ⋅ 0,60 ⋅ s e n [ ( π 3   m - 1 ) ] x   ⋅ s e n [ ( 33 π   s - 1 ) t ]

Sendo   x   =   1,2   m e t   = 11 8   s   :

v ( x , t )   = - ( 33 π   s - 1 ) ⋅ 0,60 ⋅ s e n [ ( π 3   m - 1 ) ]   1,2   m ⋅ s e n [ ( 33 π   s - 1 ) 11 8   s ]

v ( x , t ) =   - 99 π 5   s e n ( 2 π 5 ) s e n ( 363 π 8 )     =   54,656   m / s

E aí? Essa resolução te ajudou?? Responde Aí!

Beijinhos e bons estudos :)

Resposta

L   =   9   m   ;   v   =   54,656   m / s

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