Uma corda fixa em um dos extremos e livres para oscilar no outro, vibra num dado modo normal. A velocidade de propagação das ondas nesta corda vale v = 14 m / s . A figura mostra o perfil da corda num dado instante em que todos os deslocamentos são máximos.

  1. Determine o comprimento de onda e a frequência de oscilação da corda neste modo normal.
  2. Determine o comprimento de onda e a frequência de oscilação para o modo normal de maior frequência logo abaixo deste.
  3. Determine as posições dos nós no modo do item ( b ) .
  4. Escreva a equação da onda estacionária y ( x , t ) que descreve a oscilação da corda para este novo modo normal. (Suponha a mesma amplitude do modo dado no enunciado e que os deslocamentos são máximos em t = 0 ).

Passo 1

Fala galera, tudo bem? Vou ajudar você a resolver essa questão! Vamos lá?

Letra (a):

Sabemos que a distância entre dois nós equivale a metade de um comprimento de onda inteiro. E pelo gráfico temos que a escala vale 0,1 m = 10 c m . Sendo assim, metade de um comprimento vale 20 c m , logo um inteiro é o dobro disso:

λ 2 = 20 c m

λ = 40 c m = 0,4 m

E como temos a velocidade, podemos calcular a frequência:

v = λ f

f = v λ = 14 0,4 = 35 H z

Passo 2

Letra (b):

Quando temos uma extremidade fixa e uma livre, os modos normais são dados em múltiplos impares de λ / 4 . No gráfico temos 7 quartos de comprimentos de onda, olha só:

Então modo natural abaixo dele é 5 quartos de comprimento de onda:

L = 5 4 λ

λ = 4 L 5 = 4 . 0,7 5 = 0,56 m

E agora com o novo comprimento de onda podemos calcular a frequência associada a esse modo:

f = v λ = 14 0,56 = 25 H z

Passo 3

Letra (c):

Como o extremo esquerdo em x = 0 é o livre, o primeiro nó vai acontecer depois de λ / 4 , ou seja:

x 1 n ó = λ 4

x 1 n ó = 0,56 4 = 0,14 m

A partir daí, ele se repete a cada λ / 2 . Ou seja, a cada 0,28 m . Então o próximo nó vai ser:

x 2 = 0,14 + 0,28 = 0,42 m

x 3 = 0,42 + 0,28 = 0,7 m

Passo 4

Letra (d):

A equação para uma onda é:

y x , t = A s e n k x   c o s ω t

A amplitude é dada em x = 0 e vale A = 0,5 m . O número de onda k é dado em função do comprimento de onda:

k = 2 π λ

k = 2 π 0,56 = π 0,28

A velocidade angular ω é:

ω = k v = π 0,28 . 14 = 50 π r a d / s

Assim podemos montar a equação dessa onda:

y x , t = A s e n k x   c o s ω t

y x , t = 0,5 s e n π 0,28 x   c o s ⁡ ( 50 π   t )

Beleza?

Pronto pra próxima questão? =)

Resposta

a ) λ = 40 c m   ; f = 35 H z

b ) 25 H z

c ) 14 c m   ; 42 c m   ; 70 c m

d ) y x , t = 0,5 s e n π 0,28 x   c o s ⁡ ( 50 π   t )

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