Marcelo e Edivaldo seguram pelas extremidades uma corda de comprimento L e densidade linear μ , aplicando uma tensão T. Ao movimentar as extremidades, eles geram ondas harmônicas progressivas em cada extremidade, de forma a obter ao final uma onda estacionária na corda, com os ventres nas posições de Marcelo ( x M = 0 ) e Edivaldo ( x E = L ).

a) Quais as condições de contorno a serem satisfeitas pela onda estacionária formada?

b) Marcelo e Edivaldo movimentam suas extremidades em oposição de fase deslocando-as entre A e -A, de forma a excitar o modo fundamental de oscilação. Qual a função de onda progressiva gerada por Marcelo ( y M ) e Edivaldo ( y E ), se no instante inicial (t = 0) estão segurando a corda nas posições y M = - y E = A ?

c) Qual a expressão da onda estacionária formada, em função de x e t?

d) Se eles passarem a movimentar a corda em fase, qual a frequência de oscilação mínima excitada? Justifique a resposta.

Passo 1

a) A primeira coisa que você precisa lembrar aqui é que, numa onda estacionária, um ventre tá na mesma posição que uma crista. Então quando ele fala que os ventres estão nas posições de Marcelo e Edvaldo, as cristas também vão estar nessas posições.

As posições de Marcelo e Edvaldo são y ( 0 , t ) e y ( L , t ) . Essas posições serão de máximo (crista) ou mínimo (ventre). Então:

y 0 , t = ± y ( L , t )

E esse ± depende se eles estarão defasados ou não. Tipo assim: Marcelo pode tá num vale e Edvaldo numa crista. Nesse caso:

y 0 , t = - y ( L , t )

Ou os dois podem estar na mesma posição vertical, de crista ou vale. Nesse caso:

y 0 , t = + y ( L , t )

Pegou o raciocínio?

A outra condição de contorno vai ser quanto à inclinação de corda! A derivada da função de onda y(x,t) com relação a x é a inclinação da corda. Nos ventres e cristas essa inclinação é zero, uma reta horizontal! Então nas posições de Marcelo e Edvaldo a derivada com relação a x vai ser zero:

∂ y ∂ x   ( 0 , t ) =     ∂ y ∂ x   ( L , t ) = 0

Você não pode esquecer que: essas condições só são válidas pra quando as ondas já se encontraram. Como elas se encontram no meio da corda, x = L / 2 , o tempo t deve ser:

t > L / 2 v

Em que:

v = T μ

Então:

t > L 2 μ T

Passo 2

b) Então, o que eu te disse no item a: eles poderiam estar em oposição de fase! Ou seja, um tá em +A outro em –A. Show! Além disso, a onda gerada por Marcelo se propaga pra direita ( - ω ) , e a gerada por Edvaldo se propaga pra esquerda ( + ω ) . Então:

y E x , t = A cos ⁡ ( k x + ω t + δ E )

y M x , t = A cos ⁡ ( k x - ω t + δ M )

Lembrando que as ondas geradas pelos dois tem mesma frequência angular ω e portanto mesmo k!

Agora, eles tão excitando o modo fundamental de oscilação (aquele em que n = 1). E nós temos fórmulas que relacionam o harmônico às constantes:

k = π n L

Como n = 1:

k = π L

k L = π

Show! Guarde essa informação.

Passo 3

Aqui nós vamos usar os dados que ele deu! Que no tempo t = 0: y M = - y E = A .

y E L , 0 = A cos ⁡ ( k L + δ E ) = - A

y M 0,0 = A cos ⁡ δ M = A

Como nós achamos que k L = π :

y E L , 0 = A cos ⁡ ( π + δ E ) = - A

cos ⁡ ( π + δ E ) = - 1

E como cos ⁡ ( π + δ E ) = - cos ⁡ δ E (isso aqui é trigonometria, pense no ciclo trigonométrico!):

- cos ⁡ δ E = - 1

δ E = 0

Para Marcelo:

y M 0,0 = A cos ⁡ δ M = A

cos ⁡ δ M = 1

δ M = 0

Então:

y E x , t = A cos ⁡ ( k x + ω t )

y M x , t = A cos ⁡ ( k x - ω t )

Lembrando que:

k = π L

ω = v k = T / μ × π L

ω = π L T μ

Passo 4

c) Uma onda estacionária vai se formar quando:

t > L 2 μ T

Essa onda vai ser resultado da soma das ondas formadas pos Marcelo e Edvaldo. Ou seja:

y x , t = y E x , t + y M ( x , t )

y x , t = A cos ⁡ ( k x + ω t ) + A cos ⁡ ( k x - ω t )

y x , t = A [ cos ⁡ ( k x + ω t ) + cos ⁡ ( k x - ω t ) ]

Usando a relação c o s α + c o s β = 2 c o s α + β 2 c o s α - β 2 :

y x , t = 2 A c o s ⁡ ( k x ) c o s ⁡ ( ω t )

Só isso!

Passo 5

d) Se as extremidades estiverem oscilando em fase, elas vão ser duas cristas ou dois vales. Pra isso, ainda terão dois nós entre elas. Tipo assim:

Nesse caso aí, o comprimento de onda vai ser igual ao tamanho da corda:

λ = L

Dá pra ver isso pela figura, e se você pensar na fórmula, pro segundo harmônico:

k = π n L = 2 π L

k = 2 π λ = 2 π L

λ = L

Maravilha! E como:

v = λ f

T μ = λ f

f = 1 λ T μ

f = 1 L T μ

Resposta

a) y 0 , t = ± y ( L , t ) , ∂ y ∂ x   ( 0 , t ) =     ∂ y ∂ x   ( L , t ) = 0 e t > L 2 μ T

b) y E x , t = A cos ⁡ π L x + π L T μ t e y M x , t = A cos ⁡ π L x - π L T μ t

c) y x , t = 2 A c o s ⁡ ( k x ) c o s ⁡ ( ω t )

d) f = 1 L T μ

Exercícios de Livros Relacionados

Na figura, uma corda presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suport no ponto Q é tensionada por um bloco de massa m . A distância entre P e Q é L = 1,20 m e a freqüência do oscilador
Na figura, uma corda, presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suporte no ponto Q , é tensionada por um bloco de massa m . A distância entre P e Q é L=1,20m , a massa específica linear
A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda é y = 0,15 s e n ( 0,79 x - 13 t ) onde xey estão em metros e t está em segundos. (a) Qual é o deslocamento y em x=2,3m e t=0,16s ? Uma se
Utna corda d e120c m de comprimento está esticada entre dois suportes fixos. Qual é (a) o maior, (b) o segundo maior e (c) o terceiro mnaior comprimento de onda das ondas que se propagam na corda para
Uma onda estacionária em uma corda é descrita por y x , t = 0,40 s e n 5 π x cos ⁡ 40 π t Onde xey estão em metros, e t em segundos. Para x ≥ 0 qual é a localização do nó com (a)o menor (b) o segundo