O modo fundamental de vibração de uma corda de violão (fixa nas extremidades) é descrito por y x , t = 0,002 s e n π x c o s ⁡ ( 800 π t ) .

  1. Determine o comprimento de onda, a frequência, e a amplitude máxima de vibração.
  2. Determine o comprimento dessa corda.
  3. Perto da corda do violão que vibra no modo fundamental, encontram-se vários tubos de diferentes comprimentos, de valores entre 0,4   m e 2,1   m , abertos em ambas as extremidades. Alguns deles entram em ressonância devido ao som produzido pela corda do violão. Considere v s o m = 340   m / s .

  4. Faça um desenho esquemático da onda estacionária de deslocamento, para cada um dos 3 primeiros harmônicos num desses tubos, e determine a relação entre o comprimento L do tubo e o comprimento de onda. A partir dessas relações, ache a expressão geral para a frequência do enésimo harmônico, em função de L e v s o m .
  5. Determine os possíveis valores do comprimento L daqueles tubos que ressoam com a frequência fundamental da corda do violão.

Passo 1

a):

Para resolvermos essa questão, basta que a gente lembre da fórmula básica das ondas estacionárias:

y x , t = 2 A s e n k x cos ⁡ ω t

Com base nela, vamos começar a identificar as variáveis da fórmula do enunciado:

k = π

2 A = 0,002 → A = 0,001 m

ω = 800 π

Lembrando que k = 2 π λ :

2 π λ = π → λ = 2 m

E esse é o comprimento de onda. Queremos achar também a frequência e a máxima amplitude .A frequência é dada por:

ω = 800 π = 2 π f → f = 800 π 2 π = 400 H z

A máxima amplitude acontece quando à = 2 A s e n k x tem seu máximo, ou seja, quando 2 A s e n k x = 2 A :

à = 2 A = 2 x 0,001 = 0,002 m

Passo 2

b):

Pra achar o comprimento da corda, basta a gente usar a relação:

x = n . λ 2

Que a é a fórmula que usamos pros nós. No entanto, se fizermos x = L , conseguiremos achar o comprimento da corda ( L ) . Vamos lembrar que n = 1 nesse exemplo:

L = 1 . λ 2 = 2 2 = 1 m

A figura do primeiro harmônico abaixo explica bem isso:

Passo 3

c):

A relação, como vimos antes, é a seguinte:

L = n . λ 2

Verifique usando essa equação, os valores de L para n = 1 , 2,3 .

Mas pera, os valores de L mudam? Claro que não! L não muda porque é o comprimento do tubo e o tubo não foi trocado(estamos considerando um mesmo tubo). O que muda são os valores de λ . Então, reescrevendo a equação acima:

L = n λ 2 → λ n = 2 L n

Só que queremos achar uma expressão pras frequências, ou seja, pras f n , certo?Então, vamos usar a equação:

v = λ f   → f n = v λ n = v 2 L n = n v 2 L

Passo 4

d):

Agora a gente vai usar a equação que foi encontrada no item anterior. Queremos achar os valores de L   para os quais o tubo tenha como frequência de ressonância a frequência de ressonância fundamental da corda, ou seja, 400 H z :

f n = n v 2 L   ↔ 400 = n . 340 2 L   ↔ L = 340 n 800 = 34 n 80 = 0,425 n

Como os comprimentos variam de 0,4 < L < 2,1 , temos que que os valores de L são:

L = 0,425 m

L = 0,850 m

L = 1,275 m

L = 1,700 m

Resposta

a):

λ = 2 m

f = 400 H z

Amplitude máxima: 0,002 m

b):

L = 1 m

c):

f n = n v 2 L

d):

L = 0,425 m

L = 0,850 m

L = 1,275 m

L = 1,700 m

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