Uma corda de violino com 30 c m de comprimento é colocada próxima a uma fonte sonora que emite um som com frequência de 440 H z . A corda passa então a vibrar no seu segundo modo normal de vibração. Suponha que a corda em repouso coincida com o eixo O-x e que o amortecimento da corda produzido pelo seu atrito com ar possa desprezado.

  1. Qual a frequência f   da onda estacionária induzida na corda? Justifique.
  2. Determine o comprimento de onda na corda.
  3. Determine a velocidade uma onda nessa corda.
  4. Determine a posição dos ventres da onda na corda em relação à extremidade x = 0 .
  5. Sabendo que o movimento de um ponto da corda na posição x = 7,5 c m é dado por y 7,5 c m , t = 0,2 c o s ⁡ ( 2 π f t ) ( y em c m ) , obtenha a função y ( x , t ) que descreve a onda estacionária na corda.

Passo 1

a): Bom galera, se liguem ali no enunciado: “ o atrito produzido pelo ar pode ser desprezado”. O que isso quer dizer?

Quer dizer que não há perdas de energia, ou seja, a frequência que chegará no violino será exatamente igual à frequência da fonte de som. Logo:

f = 440 H z

Passo 2

b):

Por ser uma onda estacionária em uma corda, nós usamos a relação seguinte:

L = n λ 2

Bom, a onda está no seu segundo modo normal de vibração. Sabemos também o valor de L , logo:

λ = 2 L n = 2.30 c m 2 = 30 c m

Passo 3

c):

Vamos usar agora aquela velha expressão:

v = λ f

Sabemos tudo que precisamos:

v = 0.3 . 440 = 132 m / s

Passo 4

d): Bom, a onda estacionária dessa corda tem esse formato:

Bom, a gente sabe que cada “voltinha” da onda estacionária corresponde a λ 2 . E como os ventres se localizam no meio dessas “voltinhas”, podemos dizer que o primeiro ventre está em λ 4 e o segundo está em λ 2 + λ 4 = 3 λ 4 .

Logo:

x 1 = λ 4 = 7,5 c m

x 2 = 3 λ 4 = 22,5 c m

Passo 5

e):

Vamos buscar comparar a equação geral das ondas estacionárias:

y x , t = A s i n k x cos ⁡ ω t + φ

Com a equação:

y 7,5 c m , t = 0,2 c o s ⁡ ( 2 π f t )

Sendo k o número de onda:

k = 2 π λ = 2 π 30 = π 15 c m - 1

E ω = 2 π f = 880 π

Aplicando na equação geral o ponto x = 7,5 c m :

y 7,5 , t = A s i n π 15 . 7,5 cos ⁡ 880 π + φ = A s i n π 2 cos ⁡ 880 π + φ = A cos ⁡ 880 π + φ

Fazendo a comparação com a equação anterior, a gente pode deduzir:

A = 0,2

φ = 0

Logo, a equação fica:

y x , t = 0,2 sin ⁡ π 15 x cos ⁡ ( 880 π t )

Resposta

a): f = 440 H z

b): 30 c m

c): 132 m / s

d): x 1 = λ 4 = 7,5 c m

x 2 = 3 λ 4 = 22,5 c m

e): y x , t = 0,2 sin ⁡ π 15 x cos ⁡ ( 880 π t )

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