Uma onda estacionária é produzida sobre uma corda pela superposição de duas ondas transversais progressivas dadas por:

y 1 = 0,050 cos ⁡ π x - 4 t

y 2 = 0,050 cos ⁡ π x + 4 t

Onde y 1 e y 2 são dados em metros e t em segundos.

  1. Considere que a corda está submetida a uma tensão de 8,0   N . Encontre a massa por unidade de comprimento da corda.
  2. Encontre a expressão da onda resultante ( como produto de duas funções, uma apenas de x e outra apenas de t ) .
  3. Encontre o menor valor positivo de x que corresponde a um nó.
  4. Considerando o intervalo 0 ≤ t ≤ 0,5 s , encontre os instantes em que a velocidade transversal dos elementos da corda são nulos.
  5. Desenhe a corda nos instantes do item d), no intervalo 0 < x < 2,00 m , indicando, claramente as distâncias relevantes.

Passo 1

a):em galera, quando se fala de tensão e densidade linear( massa por unidade de comprimento), a gente lembra disso:

v = T   μ

Então:

μ = T v 2

Bem, já temos a tensão. Basta achar a velocidade.

A velocidade a gente encontra analisando a fórmula:

y 1 = 0,050 cos ⁡ π x - 4 t

y 1 = 0,050 cos ⁡ π x - 4 π t

Lembrando que essa equação segue o padrão:

y = A c o s k x ∓ ω t

A gente percebe que:

k = π

ω = 4 π

Maaas, agora, a gente tem que lembrar da relação:

k v = ω   → v = ω k = 4 π π = 4   m / s

Pronto! Achamos a velocidade. Então jogamos na fórmula:

μ = T v 2 = 0,5   k g / m

Passo 2

b):

Sabemos que a soma de duas ondas que são idênticas mais se propagam em direções opostas, gera uma onda estacionária. Essa onda é:

y 1 + y 2 = y = 2 A c o s k x cos ⁡ ω t

Você pode perceber isso fazendo aquela soma de cossenos, mas é interessante lembrar desse resultando, pra não ter que ficar usando trigonometria na hora da prova.

Assim:

y = y 1 + y 2 = 2 A c o s k x cos ⁡ ω t

y x , t = 0,1 cos ⁡ π x c o s ⁡ ( 4 π t )

Com y ( x , t ) em metros e t em segundos.

Passo 3

c):Pra que tenha um nó, precisamos ter y x , t = 0 . Afinal de contas, o nó sempre fica parado e nunca oscila , certo?

Então, pra que haja um nó, devemos ter:

cos ⁡ π x = 0   → π x = 2 n + 1 . π 2

x = 2 n + 1 . 1 2

O menor valor pra x ocorre quando n = 0 :

x = 1 . 1 2 = 0,5   m

Passo 4

d):

Lembra da velocidade transversal? Ela é dada pela derivada parcial da função y ( x , t ) em relação ao tempo. Então:

v x , t = ∂ y x , t ∂ t = - 2 A ω cos ⁡ k x s e n ω t

Bom, igualzinho ao c), v ( x , t ) só é igual à zero quando:

s e n ω t = 0

E isso acontece quando:

ω t = n π

E ω = 4 π :

4 π t = n π

t = n 4

Para os valores de n = 0 , 1,2 :

t 1 = 0

t 2 = 0,25   s

t 3 = 0,50   s

Passo 5

e):

Resposta

a):

μ = 0,5   k g / m

b):

y x , t = 0,1 cos ⁡ π x c o s ⁡ ( 4 π t )

c):

x = 0,5   m

d):

t 1 = 0

t 2 = 0,25   s

t 3 = 0,50   s

e):

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