Duas ondas, y 1 ( x ,   t )   e y 2 ( x ,   t ) , propagam em uma corda infinitamente longa. As ondas são descritas por

y 1 x , t = 0,050 . cos ⁡ π . x - 4 π t   e   y 2 x , t = 0,050 . cos ⁡ π x + 4 π t

onde y 1 , y 2 e x estão em metros e t está em segundos.

( a ) Determine o comprimento de onda λ , o período T , o módulo da velocidade v e o sentido do movimento de cada uma das duas ondas.

( b ) Seja y x ,   t =   y 1 x ,   t +   y 2 ( x ,   t ) . A onda descrita por y ( x ,   t ) propaga? Se SIM, com que velocidade e em que sentido? Se NÃO, descreva o que ocorre com a corda.

( c ) Esboce os gráficos de y ( x ,   t =   0 ) , y ( x ,   t   = T / 4 ) e de y ( x ,   t =   T / 2 ) , no intervalo 0 ≤ x ≤ λ   .

( d ) Determine a velocidade u ( x ,   t ) de um ponto da corda na posição x e no instante t .

Dado: cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 . cos ⁡ α + β 2 . cos ⁡ α - β 2 .

Passo 1

a   Vamos fazer a analise para cada onda, começando com y 1 .

Mas antes vamos lembrar as formulas que vamos usar:

λ = 2 π k     ; | ω | = 2 π T     ;     v = λ T

Então vamos lá:

λ 1 = 2 π k 1

Pela equação de y 1 ,   tiramos que k 1   (termo que acompanha x) é π , assim:

λ 1 = 2 π π = 2   m

O período da primeira onda é T 1 :

ω 1 = 2 π T 1 → T 1 = 2 π ω 1

Onde ω 1 é o que acompanha o t na equação y 1 , assim ω 1 = 4 π

T 1 = 2 π 4 π = 1 2   s

Agora por fim, iremos descobrir o módulo da velocidade.

v = λ T → v 1 = λ 1 T 1

v 1 = 2 0,5 = 4   m / s

Passo 2

Faremos o mesmo para a onde y 2 , mas quando olhamos bem, vemos que:

k 1 = k 2     ;     ω 1 = | ω 2 |

Devido a isso: λ 1 = λ 2   ; T 1 = T 2     ;     v 1 = v 2

Passo 3

b   Bem, essa questão teremos que descobrir y x , t que é soma das duas ondas, assim:

y x , t = 0,050 . cos ⁡ π . x - 4 π t +   0,050 . cos ⁡ π . x + 4 π t

y x , t = 0,05 . cos ⁡ π . x - 4 π t + cos ⁡ π . x + 4 π t

O enunciado nos forneceu que:

cos ⁡ α + cos ⁡ β = 2 . cos ⁡ α + β 2 . cos ⁡ α - β 2

Dizemos que α = π . x - 4 π t e β = π . x + 4 π t , assim: poderemos substituir cos ⁡ π . x - 4 π t + cos ⁡ π . x + 4 π t , por

2 . cos ⁡ π . x - 4 π t + π . x + 4 π t 2 . cos ⁡ π . x - 4 π t - ( π . x + 4 π t ) 2

2 . cos ⁡ 2 π . x 2 . cos ⁡ - 8 π t ) 2

2 . cos ⁡ π . x . cos ⁡ - 4 π t

Jogando isso na equação de y x , t ,   temos

y x , t = 0,1 . cos ⁡ π . x . cos ⁡ - 4 π t

Essa equação, pelo que vimos na teoria não representa a equação de propagação de uma onda, na verdade ela representa uma onda estacionária. Sendo assim, ela não se propaga.

Passo 4

c   Para esboçarmos um gráfico de y x , t   precisamos da equação que representa y x , t e essa já descobrimos no item anterior:

y x , t = 0,1 . cos ⁡ π . x . cos ⁡ - 4 π t

É pedido para esboçarmos o gráfico quando t = 0 ,   t = T / 4 e t = T / 2 .

Vamos ver os pontos de cada equação, começando para y x , t = 0

y x , t = 0 = 0,1 . cos ⁡ π . x . cos ⁡ - 4 π . 0 = 0,1 . cos ⁡ π . x

Essa curva sabemos desenhar, será uma senóide de amplitude 0,1 e comprimento de onda 2   m , ou seja, a onda volta a se repetir em x = 2   m .

Agora, faremos o mesmo para t = T / 4 .

y x , t = T 4 = 0,1 . cos ⁡ π . x . cos ⁡ - 4 π . T 4

y x , t = T 4 = 0,1 . cos ⁡ π . x . cos ⁡ - T π .

Lembrando que T = 1 2 ; cos ⁡ – a = cos ⁡ a   e cos ⁡ π 2 = 0

Assim,

y x , t = T 4 = 0,1 . cos ⁡ π . x . cos ⁡ - π 2 . = 0,1 . cos ⁡ π . x . 0 = 0

y x , t = T 4 = 0

Então o gráfico será uma reta em y = 0 .

Por último t = T / 2 .

y x , t = T 2 = 0,1 . cos ⁡ π . x . cos ⁡ - 4 π . T 2

y x , t = T 2 = 0,1 . cos ⁡ π . x . cos ⁡ - π / 2

Como cos ⁡ π 2 = cos ⁡ - π 2 = - 1

Então:

y x , t = T 2 = - 0,1 . cos ⁡ π . x

Se compararmos essa equação com a de y x , t = 0 , observamos que:

y x , t = T 2 = - y x , t = 0

Assim, o gráfico dessa equação será o inverso do primeiro gráfico. Então podemos desenhar nossos gráficos da seguinte forma:

Passo 5

A velocidade pode ser dita como a derivada no tempo da posição, certo?

Então iremos derivar a equação da posição para descobrirmos a velocidade da partícula.

v x , t = d y x , t d t

v x , t = 0,1 . cos ⁡ π . x . d cos ⁡ - 4 π t d t

v x , t = 0,1 . cos ⁡ π . x . - s e n   - 4 π t . - 4 π

v x , t = 0,4 π cos ⁡ π . x . s e n   - 4 π t

Lembrando que s e n - a = - s e n a , assim:

v x , t = - 0,4 π cos ⁡ π . x . s e n   4 π t

Resposta

a   λ 1 = λ 2 = 2   m   ;   T 1 = T 2 = 0,5   s     ;     v 1 = v 2 = 4   m / s

b   y x , t = 0,1 . cos ⁡ π . x . cos ⁡ - 4 π t Não se propaga, pois é estacionária.

c  

d   v x , t = - 0,4 π cos ⁡ π . x . s e n   4 π t

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