Em um sistema de coordenadas, uma corda homogênea de massa m = 0,15 k g e extremidades fixas em x a = 0,0 m e x b = 3,0 m vibra em seu terceiro harmônico com amplitude máxima A = 2 c m de acordo com:

y x , t = A F x G t ,

Com x dados em metros e t em segundos. A figura ao lado mostra a configuração da corda no instante t = 0 s , com o eixo x   em metros e o eixo y em centímetros. Após t = 0,25 s , observa-se que a corda passa instantaneamente pela primeira vez na configuração de equilíbrio, ou seja, y x , t = 0,25 s = 0 para todo x .

  1. Obtenha a velocidade de propagação de ondas na corda.
  2. Obtenha a tensão na corda.
  3. Obtenha a forma explícita de y x , t , considerando F e G como funções co-seno.
  4. Calcule as amplitudes ( A 1   e   A 2 ) e as constantes de fase ( ∅ 1   e   ∅ 2 ) das ondas progressivas y 1 x , t = A 1 c o s ⁡ ( k x - ω t + ∅ 1 ) e regressiva y 2 x , t = A 2 c o s ⁡ ( k x + ω t + ∅ 2 ) que, somadas, resultam na onda estacionária acima.

Dica: escreva ∅ 1 = φ - δ , e ∅ 2 = φ + δ , onde φ   e   δ estão associadas as partes espacial e temporal de y ( x , t ) respectivamente.

Passo 1

a):

A gente quer saber a velocidade de propagação da onda. Mas por onde começar? Bom, podemos pensar na seguinte relação abaixo:

ω = k v   → v = ω k

Mas sendo k o número de onda, sabemos que ele pode ser calculado por: k = 2 π λ

Beleza, mas estamos falando de harmônicos...como os harmônicos variam o comprimento de onda?( λ ) :

L = n . λ 2 → λ n = 2 L n

Então k n vai ser:

k n = 2 π λ n = 2 π 2 L n = n π L

Show! O harmônico da questão é o terceiro, logo:

k 3 = 3 π 3 = π

Note que o valor do comprimento L é 3 m e podemos ver isso no gráfico.

Pra descobrir a frequência angular ω , basta perceber que em t = 0 os pulsos tem deslocamento máximo, como a gente pode ver pelo gráfico. Já em t = 0,25 s a onda era y x , t = 0 .

Uma ida do máximo ao zero corresponde a um deslocamento angular de π 2 ,   basta você lembrar de uma função seno ou cosseno. Então:

ω . ∆ t = ∆ θ

ω . 0,25 - 0,0 = π 2 → ω = π 2 0,25 = 2 π

Com os valores de ω e k :

v = ω k = 2 π π = 2 m / s

Passo 2

b):

Nós queremos a tensão da corda. Então a gente pode usar a equação:

v = T μ

A gente já tem v e μ . Como temos o comprimento e a massa da corda, μ vale:

μ = m L = 0,15 3 = 0,05 k g / m

Substituindo na equação de cima:

v = T μ   → T = μ v 2 = 0,05 . 2 2 = 0,2 N

Passo 3

c):

A função escrita em termos de funções cosseno, por ser uma onda estacionária, é escrita como:

y x , t = A c o s k x + α c o s ( ω t + β )

Vamos descobrir o valor das fases usando condições iniciais. Sabemos que:

y 0 , t = 0

y 3 , t = 0

Como nessa condição nós alteramos o valor de x ,devemos analisar o primeiro cosseno. A primeira condição nos diz que:

c o s k 0 + α = cos ⁡ α = 0 ↔ α = ∓ π 2

Pra descobrir o sinal da parada é só a gente perceber que no intervalo: 0 < x < 1 o valor de y ( x , t ) < 0 , isso é, π 2 < k x + α < 3 π 2 , já que temos uma função cosseno.

Então, resolvendo essa inequação ai pros valores de x extremos:

x = 0 → α = π 2

x = 3   → 3 π 2 = α + 3 π → α = 3 π 2 - π = π 2

Então :

α = π 2

E β ? Bom, pra t = 0 a gente percebe que a função tem seus máximos, então:

cos ⁡ ω . 0 + β = 1 → cos ⁡ β = 1   → β = 0

Então a função em sua forma explícita será:

y x , t = 0,02 cos ⁡ π x + π 2 c o s ⁡ ( 2 π t )

A amplitude a gente consegue descobrir visualmente: A = 2 c m = 0,02 m

Passo 4

d):

Vamos escrever de novo as equações das ondas:

y 1 x , t = A 1 cos ⁡ k x - ω t + ∅ 1 = A 1 cos ⁡ k x - ω t + φ - δ

y 1 ( x , t ) = A 1 cos ⁡ k x + φ - ( ω t + δ )

Chamando a = k x + φ e b = ω t + δ :

y 1 x , t = A 1 cos ⁡ a - b = A 1 cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n a s e n b

E para y 2 ( x , t ) , nós vamos fazer a mesma coisa:

y 2 x , t = A 2 cos ⁡ k x + ω t + ∅ 2 = A 2 cos ⁡ k x + ω t + φ + δ

y 2 ( x , t ) = A 2 cos ⁡ k x + φ + ( ω t + δ ) = A 2 cos ⁡ a + b = A 2 cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n a s e n b

Então somando todo mundo:

y x , t = y 1 x , t + y 2 x , t

y ( x , t ) = A 1 cos ⁡ a cos ⁡ b + s e n a s e n b + A 2 cos ⁡ a cos ⁡ b - s e n a s e n b

y x , t = A 1 + A 2 cos ⁡ a cos ⁡ b + A 1 - A 2 e n a s e n b

Ufa! Tá quase chegando ao fim. Mas olha só, pela equação que achamos no item anterior, c), não havia nenhum seno na equação. Então, o segundo termo da expressão acima tem que ser nulo, isso é:

A 1 - A 2 = 0   → A 1 = A 2

Além disso, sabemos que a amplitude total vale 0,02 :

0,02 = A 1 + A 2 = 2 A 1 → A 1 = A 2 = 0,01 m

Vamos comparar as outras expressões:

a = k x + φ = π x + π 2   → φ = π 2

b = ω t + δ = 2 π t   →   δ = 0

Então, ∅ 1 = ∅ 2 = π 2 :

y 1 x , t = 0,01 cos ⁡ π x - 2 π t + π 2

y 2 x , t = 0,01 cos ⁡ π x + 2 π t + π 2

Perceba que uma de desloca no sentido de x positivo,(a que tem o sinal de + na frequência angular) e a outra no sentido de x negativo( a que tem o sinal de - na frequência angular).

Resposta

a):

v = 2 m / s

b):

T = 0,2 N

c):

y x , t = 0,02 cos ⁡ π x + π 2 c o s ⁡ ( 2 π t )

d):

y 1 x , t = 0,01 cos ⁡ π x - 2 π t + π 2

y 2 x , t = 0,01 cos ⁡ π x + 2 π t + π 2

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