Uma onda estacionária transversal produzida numa corda de comprimento infinito tem as seguintes características: o deslocamento de um ponto da corda em x = 0 em função do tempo está descrito na figura ao lado e, além disso, o ponto x = 0 é um ventre e o primeiro nó da onda se localiza em x = 0,1   m .

Determine a função que descreve o deslocamento y x ,   t da corda em função do tempo, com todos os valores numéricos pertinentes.

Passo 1

Prontos para mais uma questão sobre ondas estacionárias? Vamos lá!

Temos uma onda estacionária y x ,   t e o enunciado deu o gráfico de y como função do tempo na posição x = 0 . Assim, o gráfico fornecido é da função y 0 ,   t com 0 ≤ t ≤ 2   s :

Desse gráfico, conseguimos tirar o período (tempo para que ocorre uma oscilação completa):

T = 2,0   s

Assim, como

ω = 2 π f           e           f = 1 T

temos que

ω = 2 π T = 2 π 2 = π   r a d / s

Passo 2

A expressão geral de uma onda estacionária é do tipo

y x ,   t = A cos ⁡ k x   s e n   ω t + ϕ

As constantes k e ω são, respectivamente, o número de onda e a frequência angular. A e ϕ são outras constante que devemos determinar!

Fazendo x = 0 , obtemos a expressão do gráfico fornecido pela questão:

y 0 ,   t = A   s e n   π t + ϕ

Para achar A , basta ver que o máximo do gráfico ocorre em 4   c m . Assim,

A = 4   c m = 0,04   m

Além disso, para t = 0 , temos que y 0 ,   0 = 0 :

A   s e n   ϕ = 0 ⇒ s e n   ϕ = 0

Assim, ϕ = 0 ou ϕ = π . Como escolher entre eles?

Passo 3

Para saber se ϕ = 0 ou ϕ = π , vamos olhar para a velocidade:

v x ,   t = d y d t = ω A cos ⁡ k x cos ⁡ ω t + ϕ

No ponto x = 0 :

v 0 ,   t = ω A cos ⁡ ω t + ϕ

Fazendo t = 0 :

v 0 ,   0 = ω A cos ⁡ ϕ

Agora olhe para o gráfico. No ponto x = 0 , para t > 0 imediantamente após t = 0 , o deslocamento é negativo logo depois de ser nulo. Isso siginifica que a velocidade (taxa de variação da velocidade) é negativa nesse instante:

v 0 ,   0 < 0

Portanto,

cos ⁡ ϕ < 0

Com isso, obtemos ϕ = π pois cos ⁡ π = - 1 e cos ⁡ 0 = 1 . Já temos, portanto,

y x ,   t = 0,04 cos ⁡ k x   s e n   π t + π

Passo 4

Só nos resta achar k ! O enunciado disse que o primeiro nó (ponto com y x ,   t = 0 para qualquer t ) está em x = 0,1   m . Assim,

cos ⁡ ( k ⋅ 0,1 ) = 0

Portanto,

k ⋅ 0,1 = π 2

Logo,

k = 5 π   m - 1

Assim, a função y ( x ,   t ) fica

y x ,   t = 0,04 cos ⁡ ( 5 π x )   s e n   π t + π

Se você quiser, pode lembrar que

s e n   π t + π = - s e n   π t

Assim,

y x ,   t = - 0,04 cos ⁡ 5 π x   s e n   π t

Essa é a resposta da questão!

Resposta

y x ,   t = - 0,04 cos ⁡ 5 π x   s e n   π t

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