2 . Um gerador de frequências está acoplado a uma mola, cuja constante de rigidez é 1,2 N / m presa a um bloco de massa m = 200 g . Os sistema massa-mola por sua vez está preso a direita a uma corda de comprimento L = 1,2 m e massa M = 12 g . Para que o bloco não se desloque para direita uma outra corda é presa a ele pela esquerda (ver figura) e verifica-se que a tensão sobre ela é de T = 16 N .

Considere que o amortecimento seja fraco e que depois de um certo tempo que o gerador de frequências está ligado se atinja o estado estacionário e a corda a direita esteja no terceiro modo de vibração cuja amplitude de deslocamento seja A = 0,2 m . A amplitude de oscilação do bloco é bem menor e o ponto de contato da corda com o bloco pode ser considerado um nó.

Com base nessas informações:

a ) Determine o comprimento de onda da onda estacionária da corda a direita.

b ) Determine a frequência de oscilação da corda e a do gerador de frequências.

c ) Escreva a equação da onda estacionária da corda, dado que no instante t = 0 os deslocamentos dos pontos da corda eram máximos. Não substitua o valor numérico de π caso apareça.

Passo 1

Então vamos para mais uma! Esse problema se trata bem dizer uma onda estacionária em uma corda com massa.

Para determinar o comprimento de onda da onda estacionária podemos usar a seguinte equação:

λ n = 2 L n

Onde n indica o modo de vibração que para esse caso é 3 segundo enunciado.

Para determinar a frequência pedida em ( b ) podemos usar o seguinte:

v = λ f

⇒ f = v λ

Já que a frequência do gerador é igual ao do bloco que é igual à da corda.

Onde λ acharemos no item ( a ) e v podemos achar com a seguinte relação:

v = T μ

Onde μ é a densidade linear da corda dada por M / L .

E agora para achar a equação pedida em ( c ) vamos usar o fato de que a equação de uma onda na forma mais geral é dada por:

y x , t = A sen ⁡ ( k x ) cos ⁡ ( ω t + ϕ )

Onde

k = 2 π λ

ω = 2 π f

Então basta calcularmos esses parâmetros para o caso da nossa corda e assim teremos a equação dela.

Passo 2

Vamos então começar a resolver esse problema, primeiro vamos lidar com o item ( a ) . Temos o seguinte:

λ n = 2 L n

Usando que n = 3 e L = 1,2   m , temos:

λ 3 = 2 ( 1,2 ) 3

λ 3 = 0,8   m

Passo 3

Agora vamos para o item ( b ) .

Ele quer a frequência do gerador e da corda e para isso vamos usar:

f = v λ

Mas antes temos que calcular v e para isso temos que calcular o valor de μ . Temos:

μ = M L

Usando o que sabemos, temos:

μ = 0,012 1,2

⇒ μ = 0,01   k g / m

Agora podemos achar v , temos:

v = T μ

⇒ v = 16 0,01

Então temos que:

v = 40   m / s

Finalmente podemos achar a frequência f , temos:

f = v λ

⇒ f = 40 0,8

⇒ f = 50   H z

Assim temos que:

f g e r a d o r = f c o r d a = 50   H z

Nos livramos de mais uma!

Passo 4

Agora vamos resolver o item ( c ) .

Precisamos encontrar os parâmetros k ,   ω e ϕ . Vamos lá então.

Primeiro vamos encontrar k , temos:

k = 2 π λ

⇒ k = 2 π 0,8 = 2,5   r a d / m

Vamos achar ω agora.

ω = 2 π f

⇒ ω = 2 π 50 = 100 π   r a d / s

Para achar ϕ vamos usar o fato de que em t = 0 temos o deslocamento máximo, assim:

y x , 0 = A sen ⁡ ( k x ) cos ⁡ ( ϕ )

Para isso ser máximo temos que cos ⁡ ϕ = 1 para isso acontecer temos que ϕ = 0 .

Juntando tudo temos que nossa equação fica da seguinte forma:

y x , t = ( 0,2   m ) sen ⁡ ( ( 2,5 π   r a d / m ) x ) cos ⁡ ( ( 100 π   r a d / s ) t )

Conseguirmos acabar com tudo!

Resposta

( a )

λ 3 = 0,8   m

( b )

f g e r a d o r = f c o r d a = 50   H z

( c )

y x , t = ( 0,2   m ) sen ⁡ ( ( 2,5 π   r a d / m ) x ) cos ⁡ ( ( 100 π   r a d / s ) t )

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