Uma corda com as duas extremidades fixas vibra no modo vibracional do primeiro harmônico de acordo com a seguinte equação: y x ,   t =   0,3 s e n 4 π x . c o s ⁡ [ 8 π t ] onde o valor de y é dado em metros.

  1. Escreva expressões para as funções y 1 x ,   t e y 2 ( x ,   t ) das ondas que viajam simultaneamente na corda (para a direita e para a esquerda, respectivamente), ambas com a mesma amplitude A e que fornecem o resultado da onda estacionária y ( x ,   t ) acima. Calcule o valor de A .
  2. Qual a velocidade υ das ondas componentes y 1 e y 2 ?
  3. Qual é o comprimento L da corda e qual é a distância entre dois nós na onda dada por y ( x ,   t ) acima?
  4. Qual é a maior velocidade transversal de uma partícula na corda e qual é a posição mais próxima da extremidade esquerda fixa, considerada x = 0 , onde esta velocidade máxima ocorre?
  5. Se a corda passar a vibrar no segundo harmônico, qual será o novo comprimento de onda e a nova frequência de vibração?

Passo 1

a):

A equação : y x ,   t =   0,3 s e n 4 π x . c o s ⁡ [ 8 π t ] segue o modelo de onda estacionária abaixo:

y x , t = 2 A s e n k x c o s ⁡ ( ω t )

As duas ondas que formam essa onda estacionária devem ter a forma:

y 1 x , t = A s e n k x + ω t

E:

y 2 x , t = A s e n k x - ω t

Por que uma delas vai pra esquerda e a outra pra direita e por que a gente tem aquela relação trigonométrica marota

A s e n k x + ω t + A s e n k x - ω t = 2 A s e n k x cos ⁡ ω t

A gente consegue identificar as variáveis facilmente:

ω = 8 π

k = 4 π

2 A = 0,3   → A = 0,15

Logo:

y 1 x , t = 0,15 sen ⁡ 4 π x + 8 π t

y 2 x , t = 0,15 sen ⁡ 4 π - 8 π t

Passo 2

b):

Vamos usar a relação :

ω = k v

Por que? Oras:

ω = k v = 2 π λ . λ T = 2 π T = ω

Logo:

v = ω k = 8 π 4 π = 2

Passo 3

c):

Bom, como a corda está no seu primeiro harmônico:

L = λ 1 2

Basta a gente achar esse λ 1 . Podemos acha-lo pela equação de k :

k = 2 π λ   → λ 1 = 2 π k 1 = 2 π 4 π = 0.5 m

Logo, :

L = 0,5 2 = 0,25 m

Como é no primeiro harmônico, só há dois nós. Eles estão separados por qual distância? Justamente o L :

d = 0,25 m

Passo 4

d):

Bom, a velocidade transversal ocorre quando só o tempo ta variando e o x é constante. Pra a gente calcular isso, basta que derivemos a expressão em relação ao tempo, ou seja, faça a derivada parcial em relação ao tempo:

∂ y x , t ∂ t = - 8 π . 0,3 s e n 4 π x s e n 8 π t = - 2,4 π s e n 4 π x s e n 8 π t

Logo, a velocidade máxima, em módulo, vai ser a constante que multiplica a parte trigonométrica:

v m á x = 2,4 π m / s

Como a velocidade transversal é 2,4 π , a parte trigonométrica é igual a uma constante. Isso é:

s e n 4 π x = 1

4 π x = π 2

x = 1 8

Passo 5

e):

O segundo harmônico nos diz que:

L = 2 λ 2 2   → λ 2 = L = 0,25   m

Agora, pra achar a frequência fica simples: v = f 2 λ 2   → f 2 = v λ 2 = 2 0,25 = 8 H z

Resposta

a):

A = 0,15

y 1 x , t = 0,15 cos ⁡ 4 π x + 8 π t

y 2 x , t = 0,15 cos ⁡ 4 π - 8 π t

b):

2 m / s

c):

0,25 m   e   0,25 m

d):

v m á x = 2,4 π m / s

x = 1 8

e):

8 H z

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