Uma corda com as extremidades fixas, sujeita a uma tensão de 400   N , oscila no quarto harmônico de uma onda estacionária. O deslocamento da corda é dado por, y ( x , t ) = ( 0,300   m )   s e n ( π x / 5 )   s e n ( 10 π t ) , onde x = 0 em uma das extremidades da corda, x está em metros e t está em segundos.

Determine:

  1. O comprimento da corda
  2. A amplitude e a velocidade das ondas na corda (iguais, exceto pelo sentido de propagação) cuja superposição produz esta oscilação.
  3. A massa da corda
  4. A posição dos dois primeiros anti-nós (ventres)
  5. A velocidade transversal de uma partícula da corda no ponto x = 5,0 m para t = 9 / 8 s
  6. Se a corda oscilasse no terceiro harmônico, qual seria o período de oscilação

Passo 1

Pelo enunciado sabemos que a corda oscila no seu quarto harmônico. Isso significa que o comprimento da corda é 4 vezes meio comprimento de onda, ou seja

L = 4 λ 2 = 2 λ

Agora então para achar o comprimento da corda temos que olhar para o comprimento de onda λ

Passo 2

Agora temos que lembrar que para uma onda estacionária, a equação da onda fica

y x , t = 2 A s e n k x cos ⁡ ω t

Identificando com a equação dada pelo enunciado, o número de onda k é dado por

k = π 5 m - 1

A unidade é m - 1 por que x está em metros.

Como k se relaciona com λ por

k = 2 π λ → λ = 2 π k

Finalmente achamos o comprimento de onda

λ = 10 m

Dessa forma, podemos encontrar o comprimento da corda

L = 2 λ

L = 20 m

Passo 3

De novo olhando para a equação da onda

y x , t = 2 A s e n k x cos ⁡ ω t

Identificamos esse 2 A na equação do enunciado

2 A = 0,3

A = 0,15 m

Passo 4

Agora para achar a velocidade das ondas na corda, podemos usar a seguinte relação

v = ω k

Já temos o k ! Para achar a frequência angular, ω , basta olhar para a equação da onda. O ω vai ser o termo que estiver multiplicando o tempo t

ω = 10 π r a d s

Assim a velocidades das ondas será

v = ω k = 10 π π / 5

v = 50   m / s

Passo 5

Existe uma relação entre a densidade linear da corda, a tensão sobre a mesma e a velocidade de propagação de uma onda na corda

v = τ μ

Como já temos a velocidade de propagação e a tensão sobre a corda, basta isolar μ

μ = τ v 2 = 400 50 2

μ = 0.16   K g / m

Passo 6

Agora lembrando que a densidade linear da corda é dada por

μ = m / L

Como já sabemos o seu comprimento, basta fazer

m = μ L = 0.16 × 20

m = 3,2 K g

Passo 7

A posição dos dois primeiros anti-nós é dada quando a parte espacial da equação da onda é máxima ou mínima

s e n π x 5 = ± 1 → π x 1 5 = π 2 π x 2 5 = 3 π 2

x 1 = 2,5 m x 2 = 7,5 m

Passo 8

Vamos substituir x = 5 m e t = 9 / 8 s na equação da onda

y ( 5,8 ) = 0,300   m s e n π 5 5 s e n 10 π 9 8

y 5,8 = 0,300   m s e n π s e n 9 0 π 8

Como s e n π = 0

y 5,8 = 0

Ou seja, na posição x = 5 m temos um nó.

Isso significa que o deslocamento vertical nesse ponto é nulo, ou seja, a velocidade transversal em x = 5 m é nula.

Passo 9

O período de oscilação é dado por

T = λ v

Temos que a velocidade não se alterará já que não mudamos a tensão nem a densidade linear da corda.

Por outro lado, o que irá mudar é o comprimento de onda, já que estamos lidando com o terceiro harmônico.

No terceiro harmônico o comprimento de onda λ se relaciona com o comprimento da corda L por

L = 3 λ 2 →   λ = 2 L 3 = 2 × 20 3

λ = 13,33   m

Agora podemos calcular o período de oscilação

T = λ v = 13,33 50

T = 0,267   s

Resposta

a) L = 20   m

b) A = 0,15 m , v = 50 m / s

c) m = 3,2 K g

d) x 1 = 2,5 m x 2 = 7,5 m

e)Velocidade transversal é nula

f) T = 0,267 s

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