Um grupo de pesquisa marinha está desenvolvendo boias com sensores de movimento para monitoração remota de ondas em alto-mar. De forma a testar o equipamento, três dessas boias são posicionadas ao longo de um rio num trecho sem curvas, na proximidade de uma barragem. A boia 1 estava posicionada junto à parede da barragem, a boia 2 está a 16 metros e a boia 3 a 36 metros .Considera as ondas na superfície da água como transversais.

x = 0 , e a onda na direção negativa de x ) .

  1. Se o sensor da boia 2 registrou o movimento 4 s após o sensor da boia 3 , qual a velocidade da onda?
  2. Os sensores registram um movimento oscilatório de período 3,2 s e amplitude 0,7 m .Qual o comprimento de onda e a frequência desta onda.
  3. Diferentemente dos sensores das boias 2 e 3, o sensor da boia 1 registra que a amplitude de oscilação é de 1,4 m . Escreva a equação da onda incidente, da onda refletida pela barragem, e da onda total resultante ( para definir a fase inicial, assuma que y ( x = 0 ,   t = 0 ) é um ponto de máximo.
  4. Considerando a interferência entre a onda incidente e a onda refletida, qual será a amplitude de oscilação registrada pelos sensores das boias 2 e 3 após a reflexão?

Passo 1

a):

Essa é bem simples. A distância que a onda percorreu é a distância da boia 3 à boia 2. Logo:

∆ S = 36 - 16 = 20

O Tempo decorrido foram 4 s , logo:

v = 20 4 = 5 m / s

Passo 2

b):

Bom, a frequência é o posto do período, logo:

f = 1 T = 1 3,2 = 0,3125 H z

Pra acha o comprimento de onda, basta a gente aplicar a fórmula:

v = λ f   → λ = v f = 5 0,3125 = 16 m

Passo 3

c):

As ondas vão ter o formato:

y x , t = A c o s ( k x ∓ ω t )

O item nos diz que a onda registrada tem amplitude 1,4 m , ou seja, o dobro da amplitude 0,7 m .Além disso, o período dessas ondas é 3,2 s Com esse período, podemos calcular o ω e o k :

ω = 2 π 3,2 = π 1,6

Logo:

λ = v T = 5.3,2 = 16 m

k = 2 π λ = π 8

E a amplitude é igual a 0,7 m . Logo, a equação da onda incidente, considerando-se que ela está se movendo no sentido negativo do eixo x :

y x , t = 0,7 cos ⁡ π 8 x + π 1,6 t

Como não há perdas de energia nem interferências, a equação da onda refletida pela parede será similar a essa, apenas com o sinal que acompanha a velocidade angular invertido (pra indicar a mudança de sentido da esquerda pra direita):

y r x , t = 0,7 cos ⁡ π 8 x - π 1,6 t

Observe que nas equações as fases inicias são iguais a zero. Isso ocorre para que em y x , t = ( 0,0 ) haja um ponto de máximo. Por quê? Por que se isso acontece:

y x , t = A c o s k x ∓ ω t + θ → y 0,0 = A c o s ( θ )

Se é um máximo:

A c o s θ = A → θ = 0

Enfim, vamos calcular agora a equação da onda resultante. Observe isso: como a onda que é refletida pela parede tem a mesma defasagem, a mesma velocidade angular e o mesmo número de onda da onda incidente, de que tipo de onda será a onda resultante?

Será uma onda estacionária!:o

Ok! Então não vai ficar fazendo contas, certo? Vamos seguir o modelo de uma onda estacionária:

y x , t = 2 A c o s k x c o s ⁡ ( ω t )

Logo:

y x , t = 1,4 cos ⁡ π 8 x cos ⁡ π 1,6 t

Passo 4

d):

Vamos considerar a nossa origem na extremidade esquerda do sistema. As posições das boias 2 e 3 são, então, respectivamente, 16 m e 36 m . Na boia 2:

y 16 , t = 1,4 cos ⁡ π 8 16 cos ⁡ π 1,6 t = 1,4 cos ⁡ 2 π cos ⁡ π 1,6 t = 1,4 cos ⁡ π 1,6 t

Logo, como a amplitude da oscilação ali é 1,4 m , ou seja, é máxima, na boia 2 existe um ventre.

E em x = 36 :

y 36 , t = 1,4 cos ⁡ π 8 36 cos ⁡ π 1,6 t = 1,4 cos ⁡ 4,5 π cos ⁡ π 1,6 t

Como cos ⁡ 4,5 π = cos ⁡ 4 π + π 2 = c o s π 2 = 0 :

y 36 , t = 0

Logo, na boia 3 há um nó!

Resposta

a):

v = 5 m / s

b):

f = 0,3125 H z

λ = 16 m

c):

y x , t = 0,7 cos ⁡ π 8 x + π 1,6 t

y r x , t = 0,7 cos ⁡ π 8 x - π 1,6 t

y x , t = 1,4 cos ⁡ π 8 x cos ⁡ π 1,6 t

d):

Na boia 2:

Amplitude igual a 1,4 m .(Ventre).

Na boia 3:

Amplitude igual a 0.(Nó)

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