A figura mostra um fio composto de dois pedaços emendados de fios de um material 1 e de um material 2 de mesma área de seção transversal a   =   1   m m 2 com densidades volumétricas ρ 1 = 9,80   g / c m 3 , no caso do material 1 e ρ 2 = 2,45   g / c m 3 para o material 2. Sabe-se que o fio do material 1 tem L 1 = 100   c m de comprimento, que na extremidade do fio do material 2 está pendurado um bloco com M = 10 k g de massa e que a distância entre a junção dos fios e a roldana de suporte é L 2 = 80   c m . Ao usar um gerador de ondas externo de frequência ajustável para criar ondas transversais no fio composto, determine (assuma que tanto a extremidade esquerda do fio ligada ao gerador quanto aquela em contato com a roldana são nós):

Dica: para simplificar suas contas, use como valor para a aceleração da gravidade g = 9,8   m / s 2 .

(a) a velocidade de propagação v das ondas progressivas em cada pedaço do fio composto;

(b) a ordem dos harmônicos mais baixos que aparecem na corda quando a frequência f da fonte é ajustada de modo a originar uma onda estacionária com nó exatamente na junção dos fios;

(c) a frequência f do gerador externo correspondente à onda estacionária do ítem anterior.

(d) os comprimentos de onda λ 1 e λ 2 em cada fio na configuração do item (b).

Passo 1

a) A velocidade de uma onda que se propaga em uma corda é

v = T μ

Onde T é a tração, no caso T = M g , e μ é a densidade linear de massa da corda:

μ = m L

Como as cordas são cilíndricas, então

μ = ρ V L = ρ ( a L ) L

Então temos

v = M g ρ a

v 1 = ( 10   k g ) ( 9,8   m / s 2 ) ( 9800   k g / m 3 ) ( 10 - 6   m 2 ) = 10000 = 100   m / s

v 2 = ( 10   k g ) ( 9,8   m / s 2 ) ( 245 0   k g / m 3 ) ( 10 - 6   m 2 ) = 40000 = 200   m / s

Passo 2

b) Como na junção dos dois fio temos um nó, então é como se tivéssemos cordas independentes, ambas com as extremidades fixas.

Uma onda estacionária em uma corda vibrante tem frequência de ressonância:

f n = n v 2 L

Como o gerador de ondas vai excitar a mesma frequência nas duas cordas, temos que as frequências tem que ser iguais:

f 1 = f 2

n 1 v 1 2 L 1 = n 2 v 2 2 L 2

n 1 100 2 × 1 = n 2 200 2 × 0,8

n 1 n 2 = 400 160 = 5 2

Então os menores valores que satisfazem as condições são n 1 = 5 e n 2 = 2 .

Passo 3

c) Uma onda estacionária é gerada justamente quando o sistema entra em ressonância: a frequência externa é igual a uma frequência natural do sistema:

f e x t = f 1 = f 2

Jogando os valores da corda 1 (daria o mesmo para a corda 2):

f e x t = 5 100 2 × 1 = 250   H z

Passo 4

d) Estamos no 5º harmônico na corda 1 e no 2º harmônico na corda 2. Um esboço disso:

Na corda 1 temos 2,5 comprimentos de onda:

L 1 = 5 2 λ 1

λ 1 = 2 5 L 1 = 2 5 100   c m = 40   c m

Na corda 2 temos 1 comprimento de onda:

L 2 = λ 2 = 80   c m

Resposta

(a) v 1 = 100   m / s , v 2 = 200   m / s

(b) n 1 = 5 , n 2 = 2

(c) 250 Hz

(d) λ 1 = 40   c m , λ 2 = 80   c m

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