Uma corda com 8,0   m de comprimento está sujeita a uma tensão de 100   N . Ela tem suas extremidade fixas e oscila em um padrão de vibrações (ondas estacionária) resultante da superposição das ondas abaixo:

y 1 x , t = 0,20 . cos ⁡ ( π . x / 4 - 5 . π . t )

y 2 x , t = - 0,20 . cos ⁡ ( π . x / 4 + 5 . π . t )

sendo x , y 1 e y 2 em metros e t em segundos

a ) Use o princípio de Superposição de Ondas para obter a função da onda estacionária (ou vibração estacionária) nessa corda.

b ) A que modo normal n corresponde a vibração dessa corda? Qual o número total de nós, incluindo os extremos

c ) Desenhe o formato da corda ( y versus x ) para t = 0   s (considere as extremidade da corda em x = 0 e x = 8,0   m ). Faça o mesmo para t = 0,1   s .

d ) Determine o comprimento de onda λ , a frequência f e a velocidade da onda v , vibrando no modo fundamental.

Passo 1

a )

Para obter a função da onda estacionária, devemos somar as duas funções dadas:

y x , t = y 1 x , t + y 2 ( x , t )

y x , t = 0,20 .   cos ⁡ π . x 4 - 5 . π . t - cos ⁡ π . x 4 + 5 . π . t

Usando a seguinte relação cos ⁡ a ± b = cos ⁡ a . cos ⁡ b ∓ sen ⁡ a . sen ⁡ b , chegamos ao seguinte resultado:

y x , t = 0,20 . 2 . sen ⁡ π . x 4 . sen ⁡ 5 . π . t

y x , t = 0,40 . sen ⁡ π . x 4 . sen ⁡ 5 . π . t

sendo x e y em metros e t em segundos.

Passo 2

b )

Para determinar o modo de vibração, precisamos determinar o comprimento de onda, pois dessa maneira, descobriremos n através da seguinte relação:

l = n 2 . λ

Para determinar o valor de λ , podemos pensar no valor do número de onda k , que é fornecido nas funções, lembre que ele multiplica x no argumento do ângulo, e vale portanto π 4 , temos então:

k = 2 . π λ

π 4 = 2 . π λ

λ = 8,0   m

Substituindo na fórmula do modo de vibração, temos:

l = n 2 . λ

8,0 = n 2 . 8,0

n = 2

Portanto, o número de nós, contando os extremos, é igual a 3 , tendo em vista que no segundo harmônico, temos a seguinte configuração:

Passo 3

c )

Para t = 0 , temos que a função y ( x , t ) vale:

y x , 0 = 0,40 . sen ⁡ π . x 4 . sen ⁡ 5 . π . 0 = 0

O formato da corda será:

Para t = 0,1   s , temos que a função y ( x , t ) vale:

y x , 0,1 = 0,40 . sen ⁡ π . x 4 . sen ⁡ 5 . π . 0,1

y x , 0,1 = 0,40 . sen ⁡ π . x 4

Passo 4

d )

No modo fundamental, temos que n = 1 , desse modo, o comprimento de onda será:

l = n 2 . λ

8,0 = 1 2 . λ

λ = 16,0   m

A velocidade de propagação da onda de vibração será:

v = ω k

v = 5 . π π / 4

v = 20,0   m / s

Lembrando que obtivemos k e ω das funções dadas, pois k é a constante multiplicando x e ω é a constante multiplicando t !

A frequência será:

v = λ . f

20,0 = 16,0 . f

f = 1,25   H z

Resposta

a ) y x , t = 0,40 . sen ⁡ π . x 4 . sen ⁡ 5 . π . t

b ) n = 2 , 3 nós

c ) ver figura acima

d ) λ = 16,0   m ; v = 20,0   m / s ; f = 1,25   H z

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