Uma corda de densidade linear de massa μ = 50   g / c m é esticada sob uma tensão de 500   N . A corda tem 20   m de comprimento e, simultaneamente, a partir de cada uma das extremidades, introduzem-se oscilações harmônicas de frequências iguais f   =   5 ,   25   H z , de mesma amplitude y m   =   0 ,   5   c m   e de fases opostas.

Dados:

c o s x + c o s y = 2 cos ⁡ x + y 2 c o s x - y 2

a) Depois de quantos segundos as frentes de onda se encontram?

b) Escreva a equação da onda y ( x ,   t ) .

c) Escreva a equação para a elongação y ( t ) para um ponto no meio do fio.

d) Considerando um tempo suficientemente longo, comparado com o tempo para a onda percorrer toda a corda, quantos nós terá a onda estacionária?

Passo 1

  1. :
  2. Pra saber depois de quanto tempo elas vão se encontrar, basta você calcular a velocidade relativa das frentes de onda.

    Bom, a velocidade de cada frente é igual e dada por:

    v = T μ

    Vamos antes converter o valor da densidade linear para as unidades básicas do SI:

    μ = 50 g / c m = 50.10 - 3 10 - 2 = 5

    Assim:

    v = 500 5 = 100 = 10 m / s

    Como uma fonte está indo de encontro à outra, a velocidade relativa entre elas será:

    v r e l = 10 + 10 = 20 m / s

    Assim, pra achar o tempo, basta a gente dividir o comprimento total da corda por essa velocidade:

    ∆ t = 20 20 = 1 s

    Passo 2

  3. Como as ondas são semelhantes( só tem sentidos diferentes) as equações terão o padrão:
  4. y d x , t = A c o s k x - ω t

    y e x , t = A c o s k x + ω t

    Onde y d ( x , t ) é a onda da direita e y e ( x , t ) é a onda da esquerda.

    O enunciado nos dá A , mas devemos calcular ω e k a partir das informações do enunciado e das informações obtidas:

    ω = 2 π f = 2 π 5,25 = 10,5 π   r a d / s

    Usando a relação:

    k v = ω → k = ω v = 10,5 π 10 = 1,05 π m - 1

    Assim:

    y d x , t = 5.10 - 3 c o s 1,05 π x - 10,5 π t

    y e x , t = 5.10 - 3 c o s 1,05 π x + 10,5 π t

    Observe que escrevemos soluções para o caso em que as fases são nulas.

    Passo 3

  5. Para um tempo maior que o tempo que as ondas levam pra se encontrar( t > 1 s ) , podemos dizer que um ponto sofre a influência de ambas as ondas. Assim, a equação que descreve a elongação do ponto que está no meio da corda, x = 10 m , é dada por:

y x , t = y d x , t + y e x , t

y ( x , t ) = 5.10 - 3 ( c o s 1,05 π x - 10,5 π t + c o s 1,05 π x + 10,5 π t )

Usando a relação da transformação de soma em produto:

c o s x + c o s y = 2 cos ⁡ x + y 2 c o s x - y 2

Assim, fazendo:

x = 1,05 π x - 10,5 π t

y = 1,05 π x + 10,5 π t

x + y 2 = 1,05 π x - 10,5 π t + 1,05 π x + 10,5 π t 2 = 2 1,05 π x 2 = 1,05 π x

x - y 2 = 1,05 π x + 10,5 π t - 1,05 π x - 10,5 π t 2 = 2 10,5 π t 2 = 10,5 π t

Assim:

c o s x + c o s y = 2 cos ⁡ x + y 2 c o s x - y 2

y x , t = 2 A cos ⁡ 1,05 π x cos ⁡ 10,5 π t = 10.10 - 3 cos ⁡ 1,05 π x cos ⁡ 10,5 π t

Beleza? Agora, aplicando o valor de x = 10 :

y 10 , t = 10.10 - 3 cos ⁡ 10,5 π cos ⁡ 10,5 π t

Mas quanto é que vale esse cos ⁡ 10,5 π ?

Bom:

cos ⁡ 10,5 π = cos ⁡ 10 π + π 2 = cos ⁡ π 2 = 0

Opa! Então descobrimos que o valor da soma das ondas no meio da corda sempre será igual a zero, já que o cosseno acima zerou. Assim:

y 10 , t = 0   p a r a   q u a l q u e r   t

Então, o que podemos concluir? Que ali existe um nó:

y 10 , t é   u m   n ó

Faz sentido? Faz, afinal de contas, a superposição dessas duas ondas vai gerar uma onda estacionária, já que estamos falando da superposição de duas ondas de mesma frequência e mesmo k que estão se propagando em sentidos diferentes. Uma onda estacionária possui nós e, como pudemos ver, no meio dessa corda existirá um nó.

Passo 2

d):

Podemos matar essa opção d apenas usando a equação que relaciona as variáveis abaixo, válida para uma onda estacionária:

f n = n v 2 L

Sabemos a velocidade v , que foi calculada, o comprimento L e a frequência de vibração f n , que estão no enunciado. Assim:

5,25 = n . 10 2.20 → n = 5,25.2 . 20 10 = 21

Aonde esse n é o número de antinós (ventres).

O número de nós para uma onda estacionária é igual ao número de antinós mais um, como podemos ver na imagem abaixo, aonde a onda possui 3 antinós (ventres) e 4 nós.

Como nossa onda possui 21 ventres, ela terá portanto 22 nós.

Resposta

  1. :
  2. ∆ t = 1 s

  3. :
  4. y d x , t = 5.10 - 3 c o s 1,05 π x - 10,5 π t

    y e x , t = 5.10 - 3 c o s 1,05 π x + 10,5 π t

  5. :
  6. y 10 , t = 0   p a r a   q u a l q u e r   t

  7. :

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