Uma corda homogênea e inextensível de comprimento L e densidade linear de massa μ é tensionada por um bloco de massa m , como mostrado na figura. A extremidade esquerda da corda está ligada a um anel de massa desprezível, o qual pode deslizar sem atrito em uma haste vertical. Considere o eixo x apontado para direita com origem na posição do anel e suponha que ondas transversais sejam produzidas na corda usando-se uma fonte externa de frequência variável (não indicada na figura). Suponha conhecida a velocidade v da onda nesta corda sob estas condições e que a corda não descole da roldana em nenhum momento.

  1. Mostre que y x , t = A c o s k x + B s e n k x c o s ⁡ ( ω t + δ ) , onde A , B e δ são constantes, é solução da equação de ondas unidimensional (não é necessário deduzi-la) e determine a relação entre v , k e ω .
  2. Utilizando as condições de contorno ∂ y ( 0 , t ) / ∂ x = 0 e y L , t = 0 determine o comprimento de onda do n-ésimo modo normal de vibração.
  3. Esboce os três modos normais de vibração de menor frequência observados na corda.
  4. Calcule a frequência f ' e o comprimento de onda λ ' do modo normal de vibração de menor frequência observado na corda se o anel é mantido fixo à haste.

Passo 1

a):

A ideia desse item é simples: Vamos aplicar essa equação na equação de onda unidimensional. Se tudo der certo, beleza. A equação de onda unidimensional é:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v 2 . ∂ 2 y ∂ t 2

Logo, provar que a equação do enunciado é uma solução dessa equação é provar que:

∂ 2 y ∂ x 2 - 1 v 2 . ∂ 2 y ∂ t 2 = 0

Onde y =   y x , t = A c o s k x + B s e n k x cos ⁡ ω t + δ .

Ok! Então é simples, vamos calcular as derivadas parciais de segunda ordem dali de cima e vê no que vai dar:

∂ y ∂ x = - k A s e n k x + k B c o s k x c o s ⁡ ( ω t + δ )

Onde ali a gente derivou só em relação ao x . Derivando de novo:

∂ 2 y ∂ x 2 = - k 2 A c o s k x - k 2 B s e n k x cos ⁡ ω t + δ

= - k 2 A c o s k x + B s e n k x cos ⁡ ω t + δ

Agora vamos fazer a segunda derivada parcial, agora em relação ao tempo:

∂ y ∂ t = - ω A c o s k x + B s e n k x sen ⁡ ω t + δ

∂ 2 y ∂ t 2 = - ω 2 A c o s k x + B s e n k x cos ⁡ ω t + δ

Agora, lembrando que y x , t = A c o s k x + B s e n k x cos ⁡ ω t + δ , podemos reescrever as equações como:

∂ 2 y ∂ x 2 = - k 2 y x , t

∂ 2 y ∂ t 2 = - ω 2 y ( x , t )

Logo, na equação principal:

∂ 2 y ∂ x 2 - 1 v 2 . ∂ 2 y ∂ t 2 = 0

- k 2 y x , t + ω 2 y x , t v 2 = 0

- k 2 + ω 2 v 2 y x , t = 0

Logo, como a função y não pe igual a zero, a expressão acima só se anulará se :

- k 2 + ω 2 v 2 = 0

k v = ω

Então provamos que y ( x , t ) é solução da equação de onda e que a relação entre k , ω e v é essa acima.

Passo 2

b):

A primeira condição de contorno nos diz que a derivada parcial da função em relação à x , quando aplicada em x = 0 , nos dá um resultado igual à zero. Usando a expressão que a gente calculou um pouquinho antes:

∂ y ∂ x = - k A s e n k x + k B c o s k x c o s ⁡ ( ω t + δ )

Para x = 0 :

∂ y ∂ x 0 , t = - k A s e n 0 + k B c o s 0 cos ⁡ ω t + δ = k B c o s ω t + δ = 0

B = 0

Então, reescrevendo y x , t :

y x , t = A c o s k x cos ⁡ ω t + δ

A segunda opção diz que y L , t = 0 .

Então vamos aplicar x = L na nova expressão:

y L , t = A c o s k L cos ⁡ ω t + δ = 0

Mas y L , t = 0 , nos diz que isso tem que valer pra qualquer instante t . Ou seja, a expressão tem que se anular no ponto L para qualquer tempo. Então, temos que dizer que o que anula a expressão é a parte que não depende do tempo, ou seja:

A c o s k L = 0

Só que A não é igual a zero.(Porque o B já é zero, se tivermos os dois igual a zero, a onda será nula).Então:

cos ⁡ k L = 0

E quando isso acontece? Quando o ângulo ali do cosseno for um múltiplo ímpar de π 2 .(como π 2 , 3 π 2 , 5 π 2 , e t c ) . Então:

k L = 2 n + 1 π 2

Estamos quase lá. Agora, usando a definição de número de onda:

k = 2 π λ

Logo:

2 π λ L = 2 n + 1 . π 2   → λ n = 4 L 2 n + 1

Pronto (:

Isso vale para n = 0 , 1,2 , 3 … .

Passo 3

Por primeiro harmônico, vamos pegar o menor valor de n . Então, n = 0 , temos:

λ 0 = 4 L   → L = λ 0 4

n = 1 :

λ 1 = 4 L 3   → L = 3 λ 1 4

n = 2 :

λ 2 = 4 L 5   → L = 5 λ 2 4

No primeiro caso, vamos desenhar um quarto de comprimento de onda. No segundo, meio comprimento de onda mais um quarto. E no terceiro, um comprimento de onda mais um quarto. Logo ( de baixo para cima):

Passo 4

d):

Se o anel for mantido fixo, a gente vai passar a calcular as frequências e os comprimentos como geralmente calculamos em uma corda com uma onda estacionária que tem dois nodos nas extremidades. Ou seja, usando a fórmula:

f n = n v 2 L

λ n = 2 L n

A menor frequência acontece pra n = 1 :

f 1 = v 2 L

λ 1 = 2 L

A velocidade v pode ser calculada por:

v = T μ

Então:

f 1 = 1 2 L . T μ

λ 1 = 2 L

Resposta

a):

k v = ω

b):

λ n = 4 L 2 n + 1

c):

d)

f 1 = 1 2 L . T μ

λ 1 = 2 L

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