Exercícios Resolvidos de Ondas Estacionárias

PUCRIO, Física 2, Prova 2, 2012.2 – Questão 1

Uma corda submetida a uma tensão de 4,0   N e fixa nas duas extremidades, oscila num padrão de onda estacionária correspondente ao terceiro modo normal de vibração. Uma das extremidades da corda encontra-se em x = 0 e o deslocamento da corda é dado por:

y   x , t = 1,0 × 10 - 2 sen 5 π   x   . sen [ 120 π . t ]   (Sistema Internacional de Unidades)

a ) Determine o comprimento L da corda.

b ) Calcule a velocidade das ondas na corda e a massa total da corda.

c ) Obtenha a expressão da velocidade transversal das partículas da corda em função de x e t . Calcule essas velocidades em t = 0 , nas posições x 1 = 10   c m ,   x 2 = 30   c m   e   x 3 = 50   c m .

d ) Faça um desenho da corda em t = 0 , indicando as posições dos nós e colocando os vetores velocidade nas posições x = 10   c m ,   30   c m e   50   c m .

e ) Desenhe a corda depois de decorrido um quarto de período ( t = T / 4 ) .

Passo 1

a )

Para determinar o tamanho da corda, precisamos atentar para um detalhe dado no enunciado, temos a informação de que a corda oscila em um padrão estacionário correspondente ao terceiro modo de vibração, temos então:

Ou seja, temos 4 pontos (nós) onde a função y ( x , t ) será igual a zero, ou seja, temos que esses pontos ocorrem quando sen 5 . π . x é igual a 0 . Ou seja, 5 . π . x deve valer 0 ,   π ,   2 π e 3 π para cada um dos nós, sendo 0 no primeiro e 3 π no último!

Então, para determinar o comprimento x da corda, basta calcular quanto vale x para que 5 . π . x seja igual a 3 π !

5 . π . x = 3 . π

x = 3 5 = 0,6   m

L = 0,6   m

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b )

Da função y ( x , t ) , podemos extrair algumas informações, se liga! Temos que o número de onda k = 5 π , pois essa é a constante que multiplica x , pela definição de k , temos:

k = 2 π λ

5 π = 2 π λ λ = 0,4   m

Além disso, temos que ω = 120 π , da definição de ω , temos:

ω = 2 π f

120 π = 2 π f f = 60   H z

Agora é só lembrar de v = λ f e correr pro abraço!

v = λ f

v = 0,4 .   60 = 24   m / s

Para determinar a massa, precisamos lembrar da seguinte relação:

v = T μ

Onde μ é a densidade linear da corda, vamos primeiro determinar seu valor!

v = T μ

24 = 4,0 μ μ = 4 24 2

Para determinar a massa, basta fazer:

m = μ . L

m = 4 24 2 .   0,6 m 4 , 17 ×   10 - 3   k g 4,17   g

Passo 3

-

c )

Para determinar a velocidade transversal, vamos precisar derivar a função y ( x , t ) , que temos, se liga!

v y = y t

v y ( x , t ) = 1,0 × 10 - 2 sen 5 π   x   . 120 π . cos [ 120 π . t ]

v y ( x , t ) = 1,2 π sen 5 π   x   cos [ 120 π . t ]

Agora é só calcular a velocidade nos pontos pedidos, simbora! Precisamos calcular essas velocidades em t = 0 , nas posições x 1 = 10   c m ,   x 2 = 30   c m   e   x 3 = 50   c m .

Para t = 0 , temos:

v y ( x , 0 ) = 1,2 π sen 5 π   x   cos [ 120 π . 0 ]

v y ( x , 0 ) = 1,2 π sen 5 π   x  

  • Para x 1 = 10   c m = 0,1   m , temos:
  • v y ( 0,1   ,   0 ) = 1,2 π sen 5 π   . 0,1  

    v y 0,1   ,   0 = 1,2 π   m / s

  • Para x 2 = 30   c m = 0,3   m , temos:
  • v y 0,3   ,   0 = 1,2 π sen 5 π   . 0,3  

    v y 0,3   ,   0 = - 1,2 π   m / s

  • Para x 3 = 50   c m = 0,5   m , temos:
  • v y 0,5   ,   0 = 1,2 π sen 5 π   . 0,5  

    v y 0,5   ,   0 = 1,2 π   m / s

    Passo 4

    d )

    Para fazer o desenho da corda, precisamos relembrar de algumas coisas. Primeiro, temos que a corda oscila no terceiro modo de oscilação, ou seja, temos uma configuração com 4 nós, sendo que 2 são as extremidades. Além disso, para t = 0 , temos que y x , t = 0 para todos os valores de x ,ou seja, a corda está esticada sobre o eixo x . Para expressar os vetores, basta notar o sentido da velocidade que calculamos no item anterior. Como temos que o eixo y aponta para cima, teremos então o seguinte desenho:

    Onde os nós estão indicados por traços pretos no eixo x , correspondendo aos pontos 0 , 0,2   m , 0,4   m e 0,6   m , e os vetores velocidade estão destacados em verde.

    Passo 5

    e )

    Para poder desenhar a corda, precisamos primeiro determinar o instante de tempo indicado, temos que t = T / 4 , podemos determinar o período pois sabemos a frequência f , se liga!

    f = 1 T

    60 = 1 T T = 1 60 s

    Para t , temos:

    t = T 4 = 1 60.4 = 1 240   s

    Substituindo em y ( x , t ) , temos:

    y   x , t = 1,0 × 10 - 2 sen 5 π   x   . sen [ 120 π . 1 240 ]

    y   x , t = 1,0 × 10 - 2 sen 5 π   x  

    Agora é só plotar esse gráfico, teremos algo semelhante a isso:

    Resposta

    a ) L = 0,6   m

    b ) v = 24   m / s e m = 4,17   g

    c ) v y ( x , t ) = 1,2 π sen 5 π   x   cos [ 120 π . t ]

  • v y 0,1   ,   0 = 1,2 π   m / s
  • v y 0,3   ,   0 = - 1,2 π   m / s
  • v y 0,5   ,   0 = 1,2 π   m / s

d ) Ver desenho acima.

e ) Ver desenho acima.

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