Dois geradores localizados nas extremidades de uma corda muito longa, com densidade linear de massa de 50 g / m , produzem ondas descritas pelas funções a seguir:

y 1 x , t = 0,400 m c o s π 4,00 s - 1 t - 1,00 m - 1 x

y 2 x , t = 0,400 m c o s π 4,00 s - 1 t + 1,00 m - 1 x

  1. Determine o período, o comprimento de onda e a velocidade dessas duas ondas, especificando em que sentido elas se propagam.
  2. Obtenha a função que descreve a onda estacionária resultante da superposição dessas duas ondas.
  3. Determine a posição dos três primeiros nós, para valores positivos de x .
  4. Obtenha a velocidade transversal dos pontos da corda em função de x e t   . Determine a expressão para essa velocidade no primeiro instante em que todos os elementos da corda possuem deslocamento nulo.
  5. Calcule a potência média transmitida por cada uma das ondas y 1   e   y 2 e a potência média transmitida pela onda estacionária.

Passo 1

a)

A gente pode achar isso usando o padrão da equação de onda que temos:

y x , t = A c o s k x ∓ ω t

Podemos usar a segunda equação:

y 2 x , t = 0,4 cos ⁡ π 4,00 s - 1 t + 1,00 m - 1 x

Multiplicando tudo por π :

y 2 x , t = 0,4 cos ⁡   4 π t + π x

Quem tá com o t é a frequência angular, quem tá com o x é o número de onda, assim:

ω = 4 π

k = π

Assim, o período:

ω = 2 π T → T = 2 π ω = 2 π 4 π = 0,5 s

Pra calcular o comprimento, devemos usar:

k = 2 π λ → λ = 2 π k = 2 π π = 2 m

Pra determinar a velocidade, usamos:

v = λ f = ω k → v = 4 π π = 4 m / s

Pra determinar o sentido, a gente vai precisar manipular um pouco a equação 1, embora não precisamos mexer muito na segunda:

y 1 x , t = 0,4 cos ⁡ π 4 t - x

y 2 x , t = 0,4 cos ⁡ π 4 t + x

No segundo caso, pelo sinal ser positivo, podemos dizer que a onda está se propagando para a esquerda.

No caso da primeira onda, o sinal negativo tá no x . Devemos passar para o t . Lembrando que:

cos ⁡ a = cos ⁡ - a

Assim:

y 1 x , t = 0,4 cos ⁡ π 4 t - x = 0,4 cos ⁡ - π 4 t - x

Assim:

y 1 x , t = 0,4 cos ⁡ - π 4 t - x = 0,4 cos ⁡ π x - 4 π t

Pelo sinal, podemos dizer que a primeira onda está se propagando para a direita.

Passo 2

b)

Devemos somar as duas equações. Pra isso, vamos usar a equação:

cos ⁡ A + cos ⁡ B = 2 cos ⁡ A + B 2 cos ⁡ A - B 2

Assim:

y 1 x , t + y 2 x , t = 0,4 cos ⁡ π x - 4 π t + 0,4 cos ⁡ π x + 4 π t

= 2.0,4 . cos ⁡ 2 π x 2 cos ⁡ 2.4 π t 2 = 0,8 cos ⁡ π x c o s ⁡ ( 4 π t )

Passo 3

c)

Um nó é um ponto tal que : y x , t = 0 para qualquer valor de t . Pra que isso aconteça, temos que ter:

y x , t = 0,8 cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π t = 0

cos ⁡ π x = 0 → π x = π 2 + k π

x = 1 2 + k = 0,5 + k

Para k = 0,1 , 2 :

x = 0,5 m

x = 1,5 m

x = 2,5 m

Passo 4

d)

A velocidade transversal vai ser a derivada da equação da onda estacionária em relação ao tempo:

d y x , t d t = v y x , t = - 4 π . 0,8 cos ⁡ π x s e n 4 π t

v y x , t = - 3,2 π cos ⁡ π x s e n ( 4 π t )

O primeiro instante em que todos os elementos da corda possuem deslocamento nulo é o tempo t para que a equação abaixo seja nula para qualquer valor de x :

y x , t = 0,8 cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π t = 0   p a r a   q u a l q u e r   x

cos ⁡ 4 π t = 0 → 4 π t = π 2 → t = 1 8

Assim, a expressão da velocidade ficará:

v y x , t = - 3,2 π cos ⁡ π x s e n 4 π 1 8

v y x , 1 8 = - 3,2 π cos ⁡ π x s e n π 2 = - 3,2 π c o s ⁡ ( π x )

Passo 5

e)

A potência média de cada onda pode ser calculada por:

P m e d = 2 μ v π A f 2

Como f é a mesma para as duas ondas e vale:

f = 4 π 2 π = 2 H z

E v também é igual para as duas, 4m/s.

E μ = 50 g / m = 50.10 - 3 k g / m

Assim:

P m e d 1 = P m e d 2 = 2 . 50.10 - 3 . 4 . π . 0,4.2 2

P m e d 1 = P m e d 2 = 256 π 2 . 10 - 3   W   ~   2,52   W

E a potência das ondas estacionárias?

Como vimos na teoria, a energia das ondas estacionárias está presa no espaço. Logo, não há trânsito de energia, portanto, a potência é nula.

Assim:

P e s t a c i o n á r i a = 0

Resposta

a)

T = 0,5 s

λ = 2 m

y 1 → P r a   d i r e i t a

y 2 → P r a   e s q u e r d a

b)

y x , t = 0,8 cos ⁡ π x cos ⁡ 4 π t

c)

x = 0,5 m

x = 1,5 m

x = 2,5 m

d)

v y x , t = - 3,2 π cos ⁡ π x s e n 4 π t

v y x , 1 8 = - 3,2 π cos ⁡ π x

e)

P m e d 1 = P m e d 2 = 256 π 2 . 10 - 3   W ~   2.52   W

P e s t a c i o n á r i a = 0

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