A figura abaixo representa o perfil de uma corda vibrante de 50 c m de comprimento em 6   instantes de tempo diferentes. Considere que a corda satisfaz a equação de corda vibrante, onde o deslocamento transversal y x , t = A c o s k x + δ c o s ω t + ∅ é dado como função da posição x e do tempo t .

  1. Sabendo que o deslocamento y nunca ultrapassa 2 c m , determine os parâmetros A , o comprimento de onda λ ,   k   e   δ a partir do gráfico acima.
  2. A partir da equação de onda e sabendo que a frequência angular de vibração é ω = 20 π r a d / s , encontre a velocidade de propagação v das ondas na corda.
  3. Que condições de contorno pra x = 0 e x = 50 c m podem gerar esta onda como um modo normal de vibração? O que pode ser dito sobre as extremidades da corda neste caso?
  4. Quais os outros valores do comprimento de onda que geram modos normais satisfazendo essas condições? Explique seu raciocínio.

Passo 1

a):

Bom galera, pra achar a amplitude a partir do gráfico, basta a gente olhar pro maior valor que y pode atingir. Esse valor é:

A = 2 c m = 0,02 m

Também a partir do gráfico, percebemos que:

λ 2 = 20 c m   → λ = 40 c m = 0,4 m

Com o valor do comprimento fica fácil calcular o número de onda:

k = 2 π λ = 2 π 40 x 10 - 2 = 5 π   m - 1

Resta saber a fase δ . Bom, pra isso, vamos pegar o valor de y quando x = 0 .

Assim:

y 0 , t = A c o s δ c o s ω t + ∅ = A r e s c o s ω t + ∅

Onde:

A r e s = A c o s δ

Mas como você pode ver no gráfico, não existe um nó em x = 0 . Então a fase não pode ser π 2 , pois:

cos ⁡ π 2 = 0 → y 0 , t = 0

E como os valores de y em x = 0 atingem um máximo, tanto positivo quanto negativo, a fase tem que ser um múltiplo inteiro de π :

δ = n π = π ,   2 π ,   3 π ,   …

Passo 2

b):

Bom, ela nos obriga a usar a equação de onda. Então vamos lá:

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

Vamos então, derivar duas vezes em relação à x e duas vezes em relação a t primeiro:

Duas vezes em relação a x :

∂ 2 y x , t ∂ x 2 = - k 2 A c o s k x + δ c o s ω t + ∅

Duas vezes em relação ao tempo:

∂ 2 y x , t ∂ t 2 = - ω 2 A c o s k x + δ c o s ω t + ∅

Agora, vamos mexer um pouco na equação de onda pra isolar o v :

∂ 2 y ∂ x 2 = 1 v x 2 . ∂ y 2 ∂ t 2

v x 2 = ∂ y 2 ∂ t 2 ∂ 2 y ∂ x 2 = - ω 2 A c o s k x + δ c o s ω t + ∅ - k 2 A c o s k x + δ c o s ω t + ∅ = ω 2 k 2

v x 2 = ω 2 k 2

E chegamos na velha relação:

ω = k v

Então:

v = ω k = 20 π 5 π = 4   m / s

Passo 3

c):

Bom, basicamente a questão está querendo saber se nas extremidades terão nós ou ventres. Quando uma questão te pede as condições de contorno em uma onda estacionaria, geralmente é isso.

Bom, como você pode ver na figura, existe um nó na extremidade direita e um ventre na esquerda, pra esse modo de oscilação da figura.

Então, pro modo normal, vai ser a mesma coisa: um ventre na extremidade esquerda, em x = 0 e um nó na extremidade direita, x = 50 c m .

Mas como escrever isso matematicamente?

A condição pra extremidade direita é fácil, é só atribuir 0 a todo valor de t :

y 50 c m , t = 0

E o da esquerda?

Bom, ali é um ventre. E o que acontece com a derivada parcial da função em relação à x em um ventre? Ela dá zero!

Por que? Bom, como o gráfico da questão é y   v s   x , a derivada parcial em relação a x vai dá o coeficiente da reta tangente ao gráfico no ponto x .

E como um ventre é um máximo, a reta tangente vai ser horizontal....logo, com coeficiente igual a zero.

Então:

∂ y 0 , t ∂ x = 0

São essas duas condições.

E o que pode ser dito em relação as extremidades é que existe um nó na extremidade direita e um ventre na esquerda, pra esse modo de oscilação da figura.

Passo 4

d):

Bom, olhando pra figura, você vai ver que a soma das frações de comprimento de ondas dão:

L = λ 4 + λ 2 + λ 2 = 5 λ 4

Como pra satisfazer as condições de contorno a gente sempre vai ter um ventre numa ponta e um nó na outra. Então, vamos ter sempre uma relação do tipo:

L = λ i 4

Onde i é um numero impar. Reescrevendo isso:

L = 2 n - 1 λ 4 ,   n = 1,2 , …

Que é igual a relação necessária pra que se tenha um tubo sonora fechado, como vamos ver no capítulo de som.

Enfim, a relação pode ser escrita assim:

L = 2 n - 1 λ 4 = n - 1 2 λ 2

λ n = 4 L 2 n - 1 = 4.0,5 2 n - 1 = 2 2 n - 1

Resposta

a):

A = 2 c m = 0,02 m

λ = 40 c m = 0,4 m

k = 5 π   m - 1

δ = n π = π ,   2 π ,   3 π ,   …

b):

v = 4   m / s

c):

y 50 c m , t = 0

∂ y 0 , t ∂ x = 0

d):

λ n = 2 2 n - 1

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