Em um laboratório, um estudante de engenharia é capaz de gerar três tipos de ondas em uma corda:

y 1 ( x ,   t )   =   y m   s e n ( k x + ω t + 3 π / 2 )   ;

y 2 x ,   t =   y m   s e n k x + ω t + π ;

y 3 ( x ,   t )   =   y m   s e n ( k x - ω t - 3 π / 2 )   ;

a) Considerando que o estudante gera apenas as ondas y1 e y2 na corda, responda às perguntas abaixo.

(i) Qual é a amplitude da onda resultante. Demonstre sua resposta.

(ii) A onda resultante na corda é uma onda estacionária? Justifique sua resposta.

(iii) A potência que a onda resultante transmite é maior, menor ou igual à potência transmitida pela onda y1? Justifique sua resposta.

b) Agora, considere que a corda tem suas extremidades fixadas em x = 0 e x = L. O estudante gera apenas as ondas y1 e y3 e observa que uma onda estacionária de 4 ventres (quarto harmônico) é gerada na corda. Escreva a expressão matemática da onda resultante na forma y x ; t = A   s e n ( a x + b ) c o s ( c t + d ) e determine as constates A; a; b; c e d apenas em termos de ym, ω e L.

Passo 1

a) A onda resultante vai ser a soma de y 1 ( x ,   t ) com y 2 x ,   t . Então:

y r x , t = y 1 x ,   t + y 2 x ,   t

y r x , t = y m   s e n k x + ω t + 3 π 2 + y m   s e n k x + ω t + π

y r x , t = y m   s e n k x + ω t + 3 π 2 +   s e n k x + ω t + π

Vamos usar a relação:

s e n a + s e n b = 2 s e n a + b 2 c o s a - b 2

y r x , t = y m   2 s e n k x + ω t + 5 π 4 c o s π 4

y r x , t = 2 y m c o s π 4   s e n k x + ω t + 5 π 4

Passo 2

(i) A amplitude de y r x , t vai ser então:

y ' m = 2 y m c o s π 4

y ' m = 2 y m 2 2

y ' m = 2 y m

Passo 3

(ii) Não é estacionária! Dá uma olhada na equação da onda:

y r x , t = 2 y m c o s π 4   s e n k x + ω t + 5 π 4

y r x , t = y ' m   s e n k x + ω t + 5 π 4

Essa função é do tipo f ( x - v t ) , ou seja, pode ser escrita assim. O que quer dizer que é função de uma onda PROGRESSIVA, não estacionária. Show?

Passo 4

(iii) O que você precisa saber aqui, é que a potência é proporcional ao quadrado da amplitude! Então uma onda com amplitude maior, tem potência maior.

Como:

y ' m > y m

A onda resultante terá maior potência.

Passo 5

b) Vamos usar a mesma relação trigonométrica de antes!

y r x , t = y 1 x ,   t + y 3 x ,   t

y r x , t = y m   s e n k x + ω t + 3 π 2 + y m   s e n k x - ω t - 3 π 2  

y r x , t = y m   s e n k x + ω t + 3 π 2 +   s e n k x - ω t - 3 π 2

s e n a + s e n b = 2 s e n a + b 2 c o s a - b 2

y r x , t = y m 2 s e n k x c o s ω t + 3 π 2

y r x , t = 2 y m s e n k x c o s ω t + 3 π 2

Beleza! A gente só precisa dar um jeito nesse k aí, já que ele falou que precisamos dar a resposta em função de y m , ω e L.

Repare que como a corda tem as extremidades fixas em x = 0 e x = L o deslocamento tem que ser zero nesses pontos! Então:

y r L , t = 2 y m s e n k L c o s ω t + 3 π 2 = 0

Para que isso dê zero:

s e n k L = 0

k L = n π

Como a onda possui 4 ventres, n = 4. Ou seja, quarto harmônico.

Então:

k = 4 π L

E:

y r x , t = 2 y m s e n 4 π x L c o s ω t + 3 π 2

As constantes são então:

a = 4 π L

b = 0

c = ω

d = 3 π 2

Resposta

a) (i) y ' m = 2 y m

(ii) Não é estacionária! É progressiva.

(iii) A onda resultante terá maior potência, porque tem maior amplitude.

b) y r x , t = 2 y m s e n 4 π x L c o s ω t + 3 π 2

a = 4 π L , b = 0 , c = ω e d = 3 π 2 .

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