Uma ponta de uma corda é ligada a um vibrador mecânico de pequenas amplitudes de 60 H z . A corda passa por uma polia a uma distância L = 1,0 m da ponta do vibrador e é esticada por um bloco de massa M variável .A amplitude do movimento na ponta do oscilador é suficientemente pequena para que este ponto seja considerado um nó. Também deve se formar um nó no ponto em que a corda toca a roldana. Observa-se que dois possíveis valores da massa M que geram ondas estacionárias nas cordas são 250 g e 360 g , e que nenhum valor de massa intermediário entre estes dois valores gera ondas estacionárias.

  1. Calcule a densidade linear μ da corda.
  2. Para que valor de M será gerada a frequência fundamental da corda?
  3. Se fixarmos M = 1,0   k g e variarmos o comprimento de L entre 0,5 m e 1,5 m , quantas configurações diferentes de ondas estacionárias observaremos? Despreze a variação da densidade linear com o comprimento da corda.

Passo 1

a):

Vamos para a expressão da frequência:

f n = n v 2 L

Beleza. Nós queremos achar a densidade linear da corda. Nós vamos usar a expressão acima pra isso. Mas como?

Bem, o problema nos diz que a corda esta sujeita a tensão causada por um peso de massa variável, que pode ser 250 g ou 360 g . A mudança de massa causa uma mudança na velocidade da corda. A velocidade das ondas na corda é dada por:

v = T μ = M g μ

Então f n fica:

f n = n M g μ . 1 2 L

Show! Vamos manipular essa equação pra isolar a densidade:

μ = M g . n 2 f 2 . 2 L 2

Passo 2

Beleza. Agora vem o pulo do gato: Pra cada massa, vamos ter um valor de n diferente que faz surgir a mesma frequência de 60 H z . Então:

μ = M 1 g n 1 2 f 2 . 2 L 2 = M 2 g n 2 2 f 2 . 2 L 2

Simplificando :

n 1 2 M 1 = n 2 2 M 2

n 1 n 2 2 = M 2 M 1

n 1 n 2 = M 2 M 1 = 360 250 = 6 5

5 n 1 = 6 n 2

n 1 = 1,2 n 2

Beleza. Agora, é preciso que esses números sejam inteiros. Então:

n 1 = 6

n 2 = 5

Passo 3

Substituindo em uma das expressões pra densidade:

μ = M 1 g n 1 2 f 2 . 2 L 2 = 250 x 10 - 3 . 10 . 6 2 60 2 . 2 2 ≅ 0,0062 k g / m = 6,2 g / m

Passo 4

b):

Quando for gerada a frequência fundamental, haverá apenas dois nós na corda. Isso é, o comprimento da corda será igual a meio comprimento de onda:

λ 2 = L   → λ = 2 L = 2.1 = 2 m

E o valor da frequência pra esse comprimento será:

λ f = v   → f 1 = v λ = v 2

E v :

v = T μ

Bom, mas a frequência do oscilador é sempre igual a 60 H z . Juntando as duas informações:

60 = T μ . 1 2   → 120 2 . 0,0062 = T = 89.90 N

Logo, o valor de M será:

M g = T = 89,90 → M = 8,9   k g  

Passo 5

d):

Se fixarmos M = 1,0 k g , a velocidade da onda será:

v = M g μ = 10 μ = 10 0,0062 ≅ 40 m / s

Beleza! A frequência, o comprimento, a velocidade e o número do harmônico se relacionam por:

f n = n v 2 L

Como a frequência é sempre igual a 60   H z :

60 = n . 40 2 L

Então:

120 L 40 = n = 3 L

Beleza! Isso foi uma forma de contornar o problema: Conseguimos uma restrição! Veja bem, n é sempre um inteiro, certo?

No entanto, L varia....Então precisamos achar os valores de L que gerem um n inteiro na equação acima. Assim:

Como L varia entre 0,5 e 1,5 e 3 L é um inteiro, a gente pode notar que os valores de L que multiplicados geram um inteiro são os múltiplos de 1 3 :

L = 2 3 , 1 , 4 3

Os valores estão na faixa porque:

2 3 ≅ 0,66 > 0,5

E:

4 3 ≅ 1,3 < 1,5

Então, como são três valores de L , existirão três configurações diferentes!

Resposta

a):

6,2 g / m

b):

M = 8,9   k g

c):

Três configurações diferentes.

Exercícios de Livros Relacionados

Na figura, uma corda presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suport no ponto Q é tensionada por um bloco de massa m . A distância entre P e Q é L = 1,20 m e a freqüência do oscilador
Na figura, uma corda, presa a um oscilador senoidal no ponto P e apoiada em um suporte no ponto Q , é tensionada por um bloco de massa m . A distância entre P e Q é L=1,20m , a massa específica linear
A equação de uma onda transversal que se propaga em uma corda é y = 0,15 s e n ( 0,79 x - 13 t ) onde xey estão em metros e t está em segundos. (a) Qual é o deslocamento y em x=2,3m e t=0,16s ? Uma se
Utna corda d e120c m de comprimento está esticada entre dois suportes fixos. Qual é (a) o maior, (b) o segundo maior e (c) o terceiro mnaior comprimento de onda das ondas que se propagam na corda para
Uma onda estacionária em uma corda é descrita por y x , t = 0,40 s e n 5 π x cos ⁡ 40 π t Onde xey estão em metros, e t em segundos. Para x ≥ 0 qual é a localização do nó com (a)o menor (b) o segundo