Exercícios Resolvidos de Ondas Estacionárias

USP, Física 2, Prova 2, 2013 – Questão 3

A taxa de transferência de energia por uma onda ao longo de uma corda (a potência instantânea) é dada por:

P x , t = - F . y x , t x . y x , t t                                                                                                             ( 1 )

Onde F é a tensão.

  1. Usando a expressão (1), obtenha P ( x , t ) para uma onda estacionária dada por:
  2. y x , t = A s e n k x cos ω t                                                                                                                 ( 2 )

  3. Calcule a potência média por período P m e d transportada pela onda para todo o   x .
  4. Para uma onda estacionária dada pela expressão (2), faça gráficos de P ( x , t ) e do deslocamento y ( x , t ) em função de x para: t = 0 , t = π 4 ω , t = π 2 ω , e t = 3 π 4 ω .
  5. Qual o valor da potência instantânea nos nós e nos ventres da onda?

Passo 1

a)

Bom, aqui a gente só precisa calcular as duas derivadas parciais da fórmula e fazer o produto entre elas. F é a tensão da corda, então vamos considerá-la como um dado do problema. Assim:

Derivando a expressão em relação ao tempo:

y x , t t = - ω A s e n k x s e n ( ω t )

E em relação a x :

y x , t x = k A c o s k x c o s ( ω t )

Logo:

P = - F . y x , t x . y x , t t       P = - F ( - ω A s e n k x s e n ω t ) ( k A c o s k x c o s ω t ) )

Bom, o produto vai dar positivo. Arrumando isso:

P = F k ω A 2 ( cos k x s e n k x ) ( c o s ω t s e n ω t )

Usando a expressão:

s e n 2 θ = 2 s e n θ cos θ s e n θ cos θ = s e n 2 θ 2

Vamos usar isso pra cos k x s e n k x e c o s ω t s e n ω t :

P = 1 4 F A 2 ω k . ( s e n 2 k x sen 2 ω t )

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

O valor médio tem uma dependência temporal, certo? Então, olhando pra expressão da potência, nós podemos concluir que a potência média vai depender do termo da expressão que depende do tempo, ou seja, sen 2 ω t .

E qual o valor médio disso?

Bem, sen 2 ω t é uma função senoidal, logo tem valor 0 em um período como o valor médio. (Lembra, o seno varia de - 1 a 1, entre eles fica o 0 ).

Logo, a potência média será:

P m e d = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x ( sen 2 ω t = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x . 0 = 0

Passo 3

c)

Pra t = 0 :

y x , 0 = A s e n k x

E:

P x , t = 0 = P m e d

Logo o gráfico normalizado será:

Onde a linha contínua representa y ( x , 0 ) e pontilhada a potência.

Para t = π 4 ω :

y x , π 4 ω = A s e n k x cos ω π 4 ω = A s e n k x cos π 4 = 2 2 A s e n k x

E a potência:

P x , π 4 ω = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x ( sen 2 ω . π 4 ω = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x ( sen π 2 = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x

Logo:

Para t = π 2 ω :

y x , π 2 ω = A s e n k x cos ω π 2 ω = A s e n k x cos π 2 = 0

E a potência:

P x , π 2 ω = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x ( sen 2 ω . π 2 ω = 0

Logo:

Pra t = 3 π 4 ω :

y x , 3 π 4 ω = A s e n k x cos ω 3 π 4 ω = A s e n k x cos 3 π 4 = - 2 2 A s e n k x

P x , 3 π 4 ω = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x ( sen 2 ω . 3 π 4 ω = 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x ( sen 3 π 2 = - 1 4 F A 2 ω k . s e n 2 k x

Logo:

Passo 4

d)

As ondas estacionárias possuem nós e ventres distanciados de si por uma distância λ 4 .

Então podemos dizer que os pontos onde estão os nós e ventres de uma onda estacionária numa corda são:

x n = n   λ 4

Só que olhando a expressão da potência numa corda:

P x , t = 1 4 F A 2 ω k . ( s e n 2 k x sen 2 ω t )

Percebemos que a potência será nula quando:

s e n 2 k x = 0 2 k x = n π   x n = n π 2 k = n π 2 . 2 π λ = n   λ 4

Opa! Esses são os nós e ventres. Ou seja, nos nós e ventres a potência é igual a 0 :

P v e n t r e = P n ó = 0

Resposta

a)

P = 1 4 F A 2 ω k . ( s e n 2 k x sen 2 ω t )

b)

P m e d = 0

c)

Gráficos acima.

d)

P v e n t r e = P n ó = 0

Esse conteúdo é exclusivo para cadastrados.

Cadastre-se grátis no maior portal de exatas do Brasil!

Relaxa, não vamos publicar nada no seu nome.

  • Resumões direto ao ponto
    Resumões
    direto ao ponto
  • Exercícios resolvidos passo a passo
    Exercícios resolvidos
    passo a passo
  • Videoaulas incríveis
    Videoaulas
    incríveis
  • Aulões Salva-Vidas
    Aulões
    Salva-Vidas