Uma camada esférica condutora, com carga Q > 0 , tem raio interno a e raio externo b . No centro da camada, na cavidade interna, há uma carga puntiforme q > 0 , conforme a figura.

a ) Usando a lei de Gauss e propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático calcule o vetor campo elétrico em todo o espaço.

b ) A partir do campo elétrico calcule o potencial elétrico na região 1 r ≥ b , na região 2 a ≤ r ≤ b e na região 3 0 ≤ r ≤ a . Defina o potencial no infinito igual a zero.

Passo 1

a ) Usando a lei de Gauss e propriedades dos condutores em equilíbrio eletrostático calcule o vetor campo elétrico em todo o espaço.

A lei de Gauss é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Como o problema tem geometria esférica, podemos simplificar a lei de Gauss para:

E A = Q i n t ϵ 0

E 4 π r 2 = Q i n t ϵ 0

E = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Novamente aproveitando a simetria esférica do problema, o vetor campo elétrico terá direção radial, logo:

E → = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2 r ^

Agora, o nosso único trabalho é, para cada região, calcular a carga interna à gaussiana de raio r .

Passo 2

-
  • Região 1 r ≥ b
  • Essa região engloba tanto a casca esférica quanto a carga pontual, logo:

    Q i n t = Q + q

    Finalmente:

    E → = 1 4 π ϵ 0 Q + q r 2 r ^

  • Região 2 a ≤ r ≤ b
  • Essa região corresponde à região no interior do condutor, certo?

    Então aqui vai uma coisa que você precisa guardar nesse coração... o campo elétrico no interior de um condutor é SEMPRE igual a zero.

    Então ficou fácil para nós:

    E → = 0 →

  • Região 3 0 ≤ r ≤ a
  • Essa região engloba somente a carga pontual, sendo assim:

    Q i n t = q

    Portanto:

    E → = 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^

    Passo 3

    b ) A partir do campo elétrico calcule o potencial elétrico na região 1 r ≥ b , na região 2 a ≤ r ≤ b e na região 3 0 ≤ r ≤ a . Defina o potencial no infinito igual a zero.

    O potencial elétrico está associado ao campo elétrico através da expressão:

    V B - V A = - ∫ A B E → ∙ d l →

    V B - V A = - ∫ r A r B E r d r

    Então só precisamos fazer esse cálculo para cada situação.

    Passo 4

  • Região 1 r ≥ b
  • Conforme calculamos no item a , nessa região, o campo elétrico é dado por:

    E → = 1 4 π ϵ 0 Q + q r 2 r ^

    Logo:

    V 1 r - V ∞ = - ∫ ∞ r 1 4 π ϵ 0 Q + q r 2 d r

    De acordo com o problema, V ∞ = 0 , logo:

    V 1 r - 0 = 1 4 π ϵ 0 Q + q r ∞ r    

    V 1 r = 1 4 π ϵ 0 Q + q r    

  • Região 2 a ≤ r ≤ b
  • De acordo com o que encontramos anteriormente:

    E → = 0 →

    Logo:

    V 2 r - V 2 b = - ∫ b r 0   d r = 0

    V 2 r = V 2 b

    Como o potencial é uma função contínua, V 2 b = V 1 b . Portanto:

    V 2 r = V 1 b

    V 2 r = 1 4 π ϵ 0 Q + q b

    Assim, o potencial nessa região é constante.

  • Região 3 0 ≤ r ≤ a
  • Nessa região:

    E → = 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^

    Assim, o potencial elétrico será dado por:

    V 3 r - V 3 a = - ∫ a r 1 4 π ϵ 0 q r 2   d r

    Novamente, como o potencial é uma função contínua:

    V 3 a = V 2 a = 1 4 π ϵ 0 Q + q b

    Voltando aos cálculos, teremos:

    V 3 r - 1 4 π ϵ 0 Q + q b = - ∫ a r 1 4 π ϵ 0 q r 2   d r

    V 3 r - 1 4 π ϵ 0 Q + q b = 1 4 π ϵ 0 q r a r

    V 3 r - 1 4 π ϵ 0 Q + q b = 1 4 π ϵ 0 q r - 1 4 π ϵ 0 q a

    Organizando esse cara, teremos:

    V 3 r = 1 4 π ϵ 0 q r - 1 4 π ϵ 0 q a + 1 4 π ϵ 0 Q + q b

    Resposta

    a )

  • Região 1 r ≥ b
  • E → = 1 4 π ϵ 0 Q + q r 2 r ^

  • Região 2 a ≤ r ≤ b
  • E → = 0 →

  • Região 3 0 ≤ r ≤ a
  • E → = 1 4 π ϵ 0 q r 2 r ^

    b )

  • Região 1 r ≥ b
  • V 1 r = 1 4 π ϵ 0 Q + q r    

  • Região 2 a ≤ r ≤ b
  • V 2 r = 1 4 π ϵ 0 Q + q b

  • Região 3 0 ≤ r ≤ a

V 3 r = 1 4 π ϵ 0 q r - 1 4 π ϵ 0 q a + 1 4 π ϵ 0 Q + q b

Resposta

Ei, a resposta está no passo a passo :)

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