Considere o sistema abaixo, mantido fixo por forças externas, que consiste numa partícula pontual de carga q > 0 e massa m , situada na origem do sistema de coordenadas, e um semi-anel de raio a situado no plano x y e centrado na origem. A densidade linear de carga do semi-anel depende do ângulo ϕ de acordo com a seguinte função: λ ϕ = λ 0 sen ⁡ ϕ , onde λ 0 é uma constante positiva.

a ) Calcule a carga total do anel;

b ) Calcule o vetor força elétrica que age sobre a carga pontual;

c ) Suponha que o anel é mantido fixo na sua posição e a partícula é liberada a partir do repouso. Qual será o módulo da velocidade da partícula quando ela se encontrar muito longe r → ∞ do anel?

Passo 1

a ) Calcule a carga total do anel;

Por definição, a densidade linear de carga é dada por:

λ = d q d l

Assim, a carga total do anel será dada por:

Q = ∫ λ ϕ d l

Como d l representa um pedaço infinitesimal do semi-anel, podemos dizer que d l = a   d ϕ . Substituindo isso e λ ϕ na expressão acima, onde 0 ≤ ϕ ≤ π , teremos:

Q = ∫ 0 π λ 0 sen ⁡ ϕ a d ϕ

Agora é só organizar e resolver esse cara:

Q = λ 0 a ∫ 0 π sen ⁡ ϕ d ϕ

Q = λ 0 a - cos ⁡ ϕ 0 π

Q = 2 λ 0 a

Passo 2

b ) Calcule o vetor força elétrica que age sobre a carga pontual;

Vamos calcular primeiro o campo elétrico no ponto onde está a carga, pois:

F → = q E →

O negócio aqui é o seguinte... vamos calcular o campo elétrico a partir de um pedaço infinitesimal do fio de carga d q .

O campo elétrico gerado pela carga infinitesimal d q é dado por:

d E → = 1 4 π ϵ 0 d q r 2   r ^

Sabendo que:

r ^ = r → r

Podemos reescrever esse cara como:

d E → = 1 4 π ϵ 0 r → r 3   d q

E → = 1 4 π ϵ 0   ∫ r → r 3   d q

Vamos analisar graficamente a situação aqui:

Daqui podemos tirar algumas coisas...

r → = - a cos ⁡ ϕ i ^ - a sen ⁡ ϕ j ^

r = a

d q = λ 0 a sen ⁡ ϕ d ϕ

0 ≤ ϕ ≤ π

Passo 3

Agora sim... substituindo tudo isso na expressão de E → , teremos:

E → = 1 4 π ϵ 0 ∫ 0 π - a cos ⁡ ϕ i ^ - a sen ⁡ ϕ j ^ a 3   λ 0 a sen ⁡ ϕ d ϕ

Antes de cair dentro das contas, vamos dar uma arrumada nessa bagunça:

E → = 1 4 π ϵ 0 λ 0 a ∫ 0 π - cos ⁡ ϕ i ^ - sen ⁡ ϕ j ^   sen ⁡ ϕ d ϕ

E → = - 1 4 π ϵ 0 λ 0 a ∫ 0 π sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ i ^ + sen 2 ⁡ ϕ j ^ d ϕ

E → = - 1 4 π ϵ 0 λ 0 a ∫ 0 π sen ⁡ ϕ cos ⁡ ϕ i ^   d ϕ + ∫ 0 π sen 2 ⁡ ϕ j ^ d ϕ

Sim, eu estou ciente de que esse é um momento que bate um certo desespero... você começa a se perguntar se está fazendo a coisa certa da sua vida e tal...

Mas relaxa!

As respostas para essas duas integrais estão no seu formulário! Então se quando você estiver fazendo a prova, cair em integrais que vão te dar trabalho pra resolver, dá uma olhada no formulário da prova e vê se ele vai salvar a sua vida.

Continuando, seguindo as respostas no formulário:

E → = - 1 4 π ϵ 0 λ 0 a sen 2 ⁡ ϕ 2 0 π i ^ + ϕ 2 - sen ⁡ 2 ϕ 4 0 π j ^

Como sen ⁡ 0 = sen ⁡ π = sen ⁡ 2 π = 0 , substituindo os valores, no final, teremos:

E → = - λ 0 4 π ϵ 0 a π 2   j ^

E → = - λ 0 8 ϵ 0 a   j ^

Passo 4

Finalmente, a força resultante sobre a partícula q será:

F → = q E →

F → = - q λ 0 8 ϵ 0 a   j ^

Passo 5

c ) Suponha que o anel é mantido fixo na sua posição e a partícula é liberada a partir do repouso. Qual será o módulo da velocidade da partícula quando ela se encontrar muito longe r → ∞ do anel?

No ponto inicial da partícula, ela possui uma certa energia potencial U . Quando ela é liberada, ela começa a se afastar do anel e, quando r → ∞ , toda a energia potencial U se transforma em energia cinética.

Logo, para determinarmos a velocidade da partícula quando r → ∞ , basta fazer:

U = m v 2 2

v = 2 U m

Agora o trabalho então é calcular a energia potencial do semi-anel no ponto inicial da carga.

Passo 6

O princípio aqui é o mesmo, vamos partir de um pedaço infinitesimal de carga d q para calcular o potencial V .

V = 1 4 π ϵ 0   ∫ d q r

Como r = a , teremos:

V = 1 4 π ϵ 0 a   ∫ d q = Q 4 π ϵ 0 a = 2 λ 0 a 4 π ϵ 0 a = λ 0 2 π ϵ 0

Assim, a energia potencial da carga q será:

U = q V

U = q λ 0 2 π ϵ 0

Finalmente, a velocidade será:

v = 2 V m = 2 m   q λ 0 2 π ϵ 0

v = q λ 0 m π ϵ 0

Resposta

a )

q t o t a l = 2 λ 0 a

b )

F → = - q λ 0 8 ϵ 0 a   j ^

c )

v = q λ 0 m π ϵ 0

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