Enunciado

Considere uma esfera sólida, de raio R, não condutora e de densidade volumétrica de carga dada por

ρ r = 3 α π 1 - r R

Concêntrica a essa esfera, temos uma casca esférica, espessa e condutora, em equilíbrio eletrostático, de raio interno a   a > R e raio externo b   b > a , onde foi depositada uma carga Q c a s .

a Calcule a carga total Q e s f da esfera não-condutora.

b Calcule o campo elétrico dentro da esfera não-condutora.

c Calcule a densidade superficial de carga σ a e σ b nas superfícies interna e externa da casca, e expresse a sua resposta em termos de Q e s f , Q c a s , a e b .

d Determine a diferença de potencial V b - V a entre as superfícies da casca.

Passo 1

a Calcule a carga total Q e s f da esfera não-condutora.

A por definição, a densidade volumétrica de carga é dada por:

ρ r = d q d V

Logo:

d q = ρ r d V

Q e s f = ∫ V ρ r d V

Onde o elemento de volume d V é dado por:

V = 4 π r 3 3 → d V = 4 π r 2   d r

0 ≤ r ≤ R

Sendo assim:

Q e s f = ∫ 0 R 3 α π 1 - r R 4 π r 2   d r

Q e s f = 12 π α π ∫ 0 R 1 - r R r 2   d r

Q e s f = 12 π α π ∫ 0 R r 2 - r 3 R   d r

Q e s f = 12 π α π r 3 3 - r 4 4 R 0 R

Q e s f = 12 π α π R 3 3 - R 4 4 R

Q e s f = 12 π α π R 3 3 - R 3 4

Finalmente:

Q e s f = 12 π α π R 3 12

Q e s f = 12 α R 3 12

Q e s f = α R 3

Passo 2

b Calcule o campo elétrico dentro da esfera não-condutora.

O campo elétrico é calculado através da lei de Gauss, dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Por conta da simetria esférica do problema, a nossa gaussiana será uma esfera de raio r . Logo, podemos dar uma simplificada na lei de Gauss.

4 π r 2 E r = Q i n t ϵ 0

E r = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2

Agora, o nosso trabalho é determinar a carga interna Q i n t .

Passo 3

Para calcular a carga Q i n t basta usarmos a densidade de carga dada pelo problema, da mesma forma que fizemos no item anterior, só que, agora, integrando de 0 e r .

Q i n t = ∫ 0 r 3 α π 1 - r R 4 π r 2   d r

Q i n t = 12 α ∫ 0 r r 2 - r 3 R   d r

Q i n t = 12 α r 3 3 - r 4 4 R

Q i n t = 12 α 4 R r 3 - 3 r 4 12 R  

Q i n t = α r 3 R 4 R - 3 r

Substituindo isso na expressão de E r , teremos:

E r = 1 4 π ϵ 0 r 2   α r 3 R 4 R - 3 r

E r = α r 4 R - 3 r 4 π ϵ 0 R  

Por conta da simetria do problema, o campo elétrico terá sempre direção radial, logo:

E → r = α r 4 R - 3 r 4 π ϵ 0 R r ^

Passo 4

c Calcule a densidade superficial de carga σ a e σ b nas superfícies interna e externa da casca, e expresse a sua resposta em termos de Q e s f , Q c a s , a e b .

No interior de um material condutor, o campo elétrico é sempre nulo. Assim, aplicando a lei de Gauss para a região a ≤ r ≤ b , para que o campo elétrico seja nulo, é necessário que:

Q i n t = 0

A gaussiana nessa região engloba tanto a esfera não condutora de carga Q e s f , quanto a superfície interna da casca condutora, de carga Q a , logo:

Q e s f + Q a = 0 → Q a = - Q e s f

Assim, a densidade de carga superficial σ a será:

σ a = Q a 4 π a 2 → σ a = - Q e s f 4 π a 2

Como não há transferência de carga da camada esférica, podemos dizer que:

Q a + Q b = Q c a s

Logo:

- Q e s f + Q b = Q c a s → Q b = Q c a s + Q e s f

Finalmente, a densidade superficial de carga σ b será:

σ b = Q b 4 π b 2 → σ b = Q c a s + Q e s f 4 π b 2

Passo 5

d Determine a diferença de potencial V b - V a entre as superfícies da casca.

A diferença de potencial está associada ao campo elétrico no interior do condutor por:

V b - V a = - ∫ E → ∙ d r →

Como o campo elétrico é nulo no interior do condutor, podemos dizer que:

V b - V a = 0

Resposta

a

Q e s f = α R 3

b

E → r = α r 4 R - 3 r 4 π ϵ 0 R r ^

c

σ a = - Q e s f 4 π a 2

σ b = Q c a s + Q e s f 4 π b 2

d

V b - V a = 0

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