Considere um dipolo elétrico formado por duas cargas de módulo q e com sinais opostos, separadas por uma distância d . O módulo da posição radial a uma ponto genérico O , definida em relação à origem localizada no centro do dipolo, é dado por r , que, por sua vez, define o ângulo θ em relação ao eixo do dipolo (veja figura abaixo).

  1. Num ponto O para o qual r ≫ d , calcule o potencial elétrico gerado pelo dipolo em função de r , θ e do momento de dipolo p .
  2. A partir do resultado do item a), calcule a componente radial do vetor campo elétrico gerado pelo dipolo no ponto O .
  3. Para uma distância r = R , em que regiões do espaço a componente radial do campo elétrico atinge valores máximos? Discuta seu resultado usando o conceito de linhas de campo elétrico.

Passo 1

a) Para o cálculo do potencial, vamos considerar as figuras abaixo.

O potencial no ponto O será dado pela soma dos potenciais produzidos pelas cargas nesse ponto. Portanto,

V O = V + + V - = q 4 π ϵ 0 1 r + - 1 r - = q 4 π ϵ 0 - ( r + - r - ) r - r +   .

Quando no caso em que r ≫ d , r + e r - são praticamente paralelos, como mostra a figura acima para r ≫ d , e podemos fazer as seguintes aproximações:

r + - r - ≈ - d cos ⁡ θ     ;     r + r - ≈ r 2     .

Substituindo na expressão para o potencial no ponto O , V ( O ) , chegamos a:

V O = q 4 π ϵ 0 d cos ⁡ θ r 2   ⇒ V O = p cos ⁡ θ 4 π ϵ 0 r 2     .

Passo 2

b) Sabemos que o   E → = - ∇ →   V = - ∂ V ∂ r r ^ . Portanto, tomando a expressão que acabamos de encontrar para o potencial V O ≡ V ( r ) , temos que

E r = - ∂ V r ∂ r = p cos ⁡ θ 2 π ϵ 0 r 3   .

Passo 3

c) Para r = R fixa, E r será máximo se cos ⁡ θ = 1 , ou seja, se θ = 0 ou θ = π . Assim, os valores máximos de E r ocorrem nos pontos localizados sobre o eixo z , que o eixo do dipolo.

Isto é razoável à luz do diagrama de linhas de campo de um dipolo elétrico, no qual se percebe um nítido adensamento das linhas sobre o eixo z .

Resposta

  1. V O = p cos ⁡ θ 4 π ϵ 0 r 2     ;
  2. E r = - ∂ V r ∂ r = p cos ⁡ θ 2 π ϵ 0 r 3   ;
  3. Para r = R fixa, E r será máximo se cos ⁡ θ = 1 , ou seja, se θ = 0 ou θ = π .

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