Uma esfera isolante maciça de raio R 1 = 2   m possui uma densidade de carga não uniforme dada pela expressão : ρ r = B . r onde B é desconhecida. Esta esfera isolante é concentricamente circundada por uma fina casca esférica condutora com raios interno R 2 = 4   m e externo R 3 = 6   m , como mostrado na figura.

O fluxo elétrico através de uma superfície esférica gaussiana de raio r > R 3 vale ϕ 3 = 4 × 10 6   N m 2 / C . Sabendo que a carga líquida depositada na casca esférica vale Q L i q = 12 μ C :

a ) Calcule o valor da carga total Q 1 da esfera maciça interna.

b ) Calcule o valor da constante B com as unidades.

c ) Calcule a razão σ e x t / σ i n t entre as densidades de carga interna e externa da casca esférica condutora.

d ) Utilizando a lei de Gauss, calcule o vetor campo elétrico na região R 1 < r < R 2 .

e ) Calcule a diferença de potencial ( V R 1 - V R 2 ), com sinal, entre a esfera interna e a casca esférica.

Passo 1

a )

Para determinar a carga da esfera isolante, vamos precisar da linda, Lady Gauss, sabemos que:

ϕ = ∮ E → . d a → = Q i n t ϵ 0

No caso da gaussiana descrita, temos:

ϕ 3 = 4 × 10 6 = Q i n t ϵ 0

Q i n t = 4 × 10 6 .   9 × 10 - 12

Q i n t = 36 × 10 - 6 C = 36   μ C

Sabendo que a carga líquida da casca esférica condutora é Q L i q = 12   μ C , temos que a carga da esfera isolante é:

Q 1 = Q i n t - Q L i q

Q 1 = 36 - 12 = 24   μ C

Passo 2

b )

Agora que sabemos quanto vale a carga total da esfera, podemos determinar a constante B , pois:

∫ ρ r . 4 . π . r 2 d r = Q 1

Substituindo, temos:

∫ B . r . 4 . π . r 2 . d r = 24 × 10 - 6

B . 4 . π . r 4 4 0 2 = 24 × 10 - 6

B . 16 . π = 24 × 10 - 6

B = 1,5 × 10 - 6   π ≈ 4,77 × 10 - 7 C / m 4

Passo 3

c )

Para calcular a razão entre as densidades superficiais, precisamos determinar a carga disposta na superfície interna. Para isso vamos utilizar a Lei de Gauss, lembrando que o campo elétrico no interior de um condutor é nulo. Portanto, para uma gaussiana esférica de raio r , onde R 1 < r < R 2 , temos:

ϕ = Q i n t ϵ 0 = 0

Desse modo:

Q i n t = 0

Onde a carga interna é a soma da carga da esfera isolante com a carga disposta na superfície interna:

Q i n t = Q 1 + Q e i n t = 0

Q e i n t = - Q 1 = - 24   μ C

Agora que temos a carga, fica fácil determinar a densidade superficial:

σ i n t = - 24 × 10 - 6 4 . π . R 2 2 = - 24 × 10 - 6 4 . π . 4 2

σ i n t = - 6 π . 4 2   μ C / m 2

Como sabemos a carga da casca esférica, e sabemos a carga disposta na superfície interna, fica fácil determinar a carga disposta na superfície externa, se liga!

Q L i q = Q e i n t + Q e e x t

Q e e x t = Q L i q - Q e i n t = 12 - ( - 24 )

Q e e x t = 36   μ C

A densidade superficial externa será:

σ e x t = 36 4 . π . 6 2 = 1 4 . π   μ C / m 2

Agora é só calcular a razão entre as densidades:

σ e x t σ i n t = 1 4 . π - 6 π . 4 2 = - 2 3

Passo 4

d )

Para determinar o campo elétrico na região R 1 < r < R 2 , vamos usar a Lei de Gauss(novidade!!), temos que:

∮ E → . d a → = Q i n t ϵ 0

Pela simetria esférica, e pelo fato de que o vetor campo elétrico é sempre paralelo ao vetor área, temos então:

E → ( r ) . 4 . π . r 2 = Q 1 ϵ 0

Lembrando que a carga interna será somente a carga Q 1 da esfera isolante!

E → ( r ) = 24 × 10 - 6 4 . π . ϵ 0 . r 2 ≈ 2,12 × 10 5 r 2   N / C

Passo 5

e )

Para determinar a diferença de potencial, entre R 2 e R 1 , precisamos lembrar da seguinte relação:

Δ V = - ∫ E → . d r →

Nas condições do problema, temos:

V R 1 - V R 2 = - ∫ R 2 R 1 E → . ( - d r → )

Repare que o sinal de menos do diferencial ( - d r → ) significa que os vetores são antiparalelos! Pois estamos indo no sentido contrário ao do vetor campo elétrico, que aponta para fora!

V R 1 - V R 2 = ∫ 4 2 2,12 × 10 5 r 2 . d r

V R 1 - V R 2 = - 2,12 × 10 5 . 1 r 4 2

V R 1 - V R 2 = - 2,12 × 10 5 . 1 2 - 1 4

V R 1 - V R 2 = - 2,12 × 10 5 4 ≈ - 5,3 × 10 4   V

Resposta

a ) Q 1 = 24   μ C

b ) B ≈ 4,77 × 10 - 7 C / m 4

c ) σ e x t σ i n t = - 2 3

d ) E → ( r ) ≈ 2,12 × 10 5 r 2   N / C

e ) V R 1 - V R 2 ≈ - 5,3 × 10 4   V

Exercícios de Livros Relacionados

Considere uma carga pontual q = 1,0 μC, o ponto A a uma distância d 1 = 2,0m de q e o ponto B a uma distância d 2 = 1,0m de q. (a) Se A e B estão diametralmente opostos, como na figura da esquerda aba
A figura (a) mostra duas partículas carregadas. A partícula 1, de carga q 1 , é mantida fixa no lugar a uma distância d da origem. A partícula 2, de carga q 2 , pode ser deslocada ao longo do eixo x.
Na figura (a), uma partícula de carga +e está inicialmente no ponto z = 20 nm do eixo de um dipolo elétrico, do lado positivo do dipolo. (A origem do eixo zé o centro do dipolo.) A partícula é desloca
A figura (a) mostra três partículas no eixo x. A partícula 1 (com uma carga de +5,0 μC) e a partícula 2 (com uma carga de +3,0 μC) são mantidas fixas no lugar, separadas por uma distância d = 4,0 cm.
Um pósitron (carga + e , massa igual à do elétron) está se movendo com uma velocidade de 1 , 0 · 10 7m / s no sentido positivo do eixo x quando, em x = 0 , encontra um campo elétrico paralelo ao eixo