Dois semi-planos condutores infinitos se encontram num ângulo reto. Na região entre eles x > 0 ,   y > 0 o potencial elétrico é dado por

V x , y , z = A x y ,

onde A > 0 é uma constante positiva.

a ) Determine o campo elétrico no primeiro quadrante x > 0 ,   y > 0 .

b ) Usando a lei de Gauss com a superfície S fechada, cilíndrica e infinitesimal, mostrada de perfil na figura, determine a densidade superficial de carga σ x ,   0 ,   z na face horizontal do condutor.

c ) Determine a integral de linha do campo elétrico

∫ P Q E → ∙ d l →

ao longo do segmento de reta P Q , conforme a figura.

Passo 1

a ) Determine o campo elétrico no primeiro quadrante x > 0 ,   y > 0 .

Por definição, o campo elétrico e o potencial estão associados por:

E → = - ∇ V

E → = - ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z A x y

E → = - A y   i → - A x j →

Passo 2

b ) Usando a lei de Gauss com a superfície S fechada, cilíndrica e infinitesimal, mostrada de perfil na figura, determine a densidade superficial de carga σ x ,   0 ,   z na face horizontal do condutor.

A Lei de Gauss é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Já que E → e d A → são paralelos, podemos simplificar a Lei de Gauss para:

E ∯ G   d A = Q i n t ϵ 0

E A = Q i n t ϵ 0

σ = Q i n t A = E ϵ 0

Assim, no ponto x , 0 , z , teremos:

σ x ,   0 ,   z = E x ,   0 ,   z ϵ 0

O campo independe de z . Quando y = 0 , o campo elétrico possui somente a componente j → . Logo:

σ x ,   0 ,   z = - A x ϵ 0

Passo 3

c ) Determine a integral de linha do campo elétrico ao longo do segmento de reta P Q , conforme a figura.

O problema está pedindo para calcularmos a integral

∫ P Q E → ∙ d l →

Por definição:

∫ P Q E → ∙ d l → = V P - V Q

Agora ficou fácil!

No ponto P , x = a e y = a e no ponto Q , x = 0 e y = a . Portanto:

V = A x y

V P = A a 2

V Q = 0

Finalmente:

∫ P Q E → ∙ d l → = A a 2 - 0

∫ P Q E → ∙ d l → = A a 2

Resposta

a )

E → = - A y   i → - A x j →

b )

σ x ,   0 ,   z = - A x ϵ 0

c )

∫ P Q E → ∙ d l → = A a 2

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