Quatro cargas puntiformes são colocadas nos vértices 1 ,   2 ,   3   e 4 de um retângulo, de

acordo com a figura abaixo. O retângulo tem lados de comprimento a e b . Considere

q   >   0 .

( a ) Calcule o vetor força resultante que atua na carga localizada na origem

(vértice 1 ).

b Determine o vetor campo elétrico no centro do retângulo ( ponto de

coordenadas ( x   =   a / 2 , y   =   b / 2 ) ) .

( c ) Calcule o trabalho necessário para trazer uma carga Q do infinito até o

ponto P de coordenadas ( x   =   a / 2 , y   =   b ) .

Passo 1

( a ) Como na origem temos a carga 1 , vamos então descobrir a força resultante nessa carga.

E para isso vamos, calcular a força nessa carga gerada pela carga 2 , depois pela 3 e por último pela 4 , separadamente. E então, vamos somar essas forças e calcular a resultante.

Porém, antes podemos fazer uma analise qualitativa do resultado, lembrando que cargas positivas se atraem e cargas negativas se repelem e o módulo da força é inverso ao quadrado da distância devido à fórmula da força:

F 12 = - k . Q 1 . Q 2 d 2

Assim, teríamos essas forças agindo:

Passo 2

Agora vamos então calcular as forças separadamente.

Primeiro a força entre as cargas 1 e 2 :

F 12 = - k . - q . q a 2 i ^ = k . q 2 a 2 i ^

Observe que essa força atua apenas na direção do eixo x .

Agora, a força entre as cargas 1   e 3 , nesse caso vamos dividir a força em dois vetores o vetor força na direção x , onde as cargas distam de a , e o vetor força na direção y , onde as cargas distam de b . Assim, temos:

F 13 = - k . - q . - q r 2 s e n ( θ ) i ^ + - k . - q . - q r 2 c o s ⁡ ( θ ) j ^  

Onde:

s e n θ = a a 2 + b 2 1 / 2 ;

c o s θ = b a 2 + b 2 1 / 2 ;

r = a 2 + b 2 1 / 2 ;

Então podemos achar o valor da força, como:

F 13 = - k . q 2 a 2 + b 2 3 2 . a   i ^ + - k . q 2 a 2 + b 2 3 / 2 . b j ^

Por último, vamos calcular a força entre as cargas 1 e 4

F 14 = - k . - q . q b 2 j ^ = k . q 2 b 2 j ^

Passo 3

Agora, vamos calcular a força resultante somando as forças

F R 1 = F 12 + F 13 + F 14

F R 1 = k . q 2 a 2 + - k . q 2 a 2 + b 2 3 2 a i ^ + k . q 2 b 2 + - k . q 2 a 2 + b 2 3 2 . b j ^  

F R 1 = k . q 2 . 1 a 2 + a a 2 + b 2 3 2 i ^ + 1 b 2 + b a 2 + b 2 3 2 j ^

Passo 4

b Como as cargas estão postas simetricamente em relação ao ponto pedido, então teremos que o campo elétrico será nulo.

Porque o campo gerado pela carga 1 irá anular o campo gerado pela carga 3 e o mesmo ocorrerá com os campo de 2 e 4 .

Assim, E c e n t r o = 0 .

Passo 5

c Queremos agora calcular o trabalho necessário para trazer uma partícula de carga Q do infinito ao ponto P . Como vimos na teoria, esse trabalho é igual a variação de energia potencial entre o infinito e o ponto P , como no infinito consideramos a energia potencial igual a zero. Então:

W ( P ) = Q . V P

Para descobrirmos a energia potencial no ponto P , vamos somar a energia potencial gerada por cada carga naquele ponto, então:

V P = V 1 P + V 2 P + V 3 P + V 4 P

V P = k - q a 2 2 + b 2 1 2 + k q a 2 2 + b 2 1 2 + k - q a 2 + k q a 2

V P = 0 → W ( P ) = 0

Resposta

a   F R 1 = k . q 2 . 1 a 2 + a a 2 + b 2 3 2 i ^ + 1 b 2 + b a 2 + b 2 3 2 j ^

b   E c e n t r o = 0

c   W P = 0

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