Uma esfera de raio R possui uma distribuição de carga não uniforme cuja densidade volumétrica é igual a ρ = α . r , onde α é uma constante positiva com dimensões: α = C m 4 .

Calcule, utilizando explicitamente a Lei de Gauss:

a O campo elétrico no ponto A , a uma distância r 1 = 10 . R do centro da esfera.

b O campo elétrico no ponto B , a uma distância r 2 = R 2 do centro da esfera.

c A diferença de potencial V A B entre os pontos A e B .

Suponha agora que uma carga puntiforme q 0 > 0 com massa M e velocidade V se desloque do infinito até o centro da esfera.

d Calcule a distância mínima alcançada pela carga q 0 antes de ser repelida pela esfera.

(Sugestão: calcule o potencial da esfera numa distância genérica “ r ” e utilize a conservação da energia).

Passo 1

a O campo elétrico no ponto A , a uma distância r 1 = 10 . R do centro da esfera.

Bom, como o corpo carregado se trata de uma esfera, vamos usar como gaussiana uma superfície esférica com raio r 1 = 10 R .

Sendo assim, teremos o seguinte:

∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

E A . 4 π r 1 2 = Q i n t ϵ 0

E A = Q i n t 4 π ϵ 0 r 1 2

O que precisamos nos preocupar agora é com essa carga Q i n t englobada pela gaussiana. Como a gaussiana está englobando toda a esfera, Q i n t corresponderá à carga da esfera.

Passo 2

Para calcular a carga da esfera, vamos usar a densidade volumétrica de cargas dada pelo problema, se liga:

ρ = d q d V → d q = ρ   d V

Onde:

ρ = α . r

V = 4 π r 3 3 → d V = 4 π r 2   d r

0 ≤ r ≤ R

Logo:

Q = ∫ 0 R α . r . 4 π r 2   d r = 4 π α ∫ 0 R r 3   d r

Q = 4 π α r 4 4 0 R = π α R 4

Show de bola! Agora é só substituir na expressão do campo elétrico e teremos o seguinte:

E A = π α R 4 4 π ϵ 0 r 1 2 = α R 4 4 ϵ 0 r 1 2

Onde r 1 = 10 R .

E A = α R 4 4 ϵ 0 10 R 2 = α R 4 400 ϵ 0 R 2

E A = α R 2 400 ϵ 0

E A → = α R 2 400 ϵ 0 r ^

Passo 3

b O campo elétrico no ponto B , a uma distância r 2 = R 2 do centro da esfera.

A ideia é bem parecida com o que acabamos de fazer, e o campo elétrico será dado por:

E B = Q i n t 4 π ϵ 0 r 2 2

O que muda agora é o limite de integração na hora de calcular a carga interna:

ρ = d q d V → d q = ρ   d V

Onde:

ρ = α . r

V = 4 π r 3 3 → d V = 4 π r 2   d r

0 ≤ r ≤ r 2

Logo:

Q i n t = ∫ 0 r 2 α . r . 4 π r 2   d r = 4 π α ∫ 0 r 2 r 3   d r

Q i n t = 4 π α r 4 4 0 r 2 = π α r 2 4

Quando substituirmos na expressão do campo elétrico, teremos:

E = π α r 2 4 4 π ϵ 0 r 2 2 = α r 2 2 4 ϵ 0

Onde r 2 = R / 2 .

E B = α R 2 16 ϵ 0

E B → = α R 2 16 ϵ 0 r ^

Passo 4

c A diferença de potencial V A B entre os pontos A e B .

Pra calcular essa diferença de potencial vamos utilizar a seguinte expressão:

V B - V A = - ∫ A B E → ∙ d r →

Pra isso, basta saber como o campo elétrico se comporta entre os pontos A e B . Para isso, vamos dividir o nosso problema em duas regiões:

  • R ≤ r ≤ r 1 :
  • Essa região corresponde ao que calculamos na letra a , logo:

    E = α R 4 4 ϵ 0 r 2

  • r 2 ≤ r ≤ R :

Essa região corresponde ao que calculamos na letra b , logo:

E = α r 2 4 ϵ 0

Passo 5

Só é importante ressaltar o seguinte! Na hora de calcular a integral na expressão da ddp, vamos utilizar sempre como ponto inicial o ponto mais distante, e como ponto final, o mais perto. Logo:

V B - V A = - ∫ A B E → ∙ d r → = - ∫ r 1 R α R 4 4 ϵ 0 r 2 d r - ∫ R r 2 α r 2 4 ϵ 0 d r

Agora é só resolver com calma:

V B - V A = - α 4 ϵ 0 R 4 ∫ r 1 R 1 r 2 d r + ∫ R r 2 r 2 d r

V B - V A = - α 4 ϵ 0 R 4 - 1 r r 1 R + r 3 3 R r 2

V B - V A = - α 4 ϵ 0 - R 4 1 R - 1 r 1 + r 2 3 3 - R 3 3

V B - V A = α 4 ϵ 0 R 4 R - R 4 r 1 - r 2 3 3 + R 3 3

Onde r 1 = 10 R e r 2 = R / 2 .

V B - V A = α 4 ϵ 0 R 3 - R 4 10 R - R / 2 3 3 + R 3 3

V B - V A = α 4 ϵ 0 R 3 - R 3 10 - R 3 24 + R 3 3

Tirando o MMC dessa bagaça, teremos:

V B - V A = α R 3 4 ϵ 0 120 - 12 - 5 + 40 120

V B - V A = 143 120   α R 3 4 ϵ 0

Passo 6

d Calcule a distância mínima alcançada pela carga q 0 antes de ser repelida pela esfera.

(Sugestão: calcule o potencial da esfera numa distância genérica “ r ” e utilize a conservação da energia).

Vamos seguir a sugestão do problema e começar calculando o potencial da esfera da uma distância r qualquer.

Para isso, vamos utilizar a expressão da diferença de potencial, onde o nosso ponto inicial será o infinito (onde o potencial é nulo).

Dessa forma:

V r - V ∞ = - ∫ ∞ r E → ∙ d r →

Onde:

E = α R 4 4 ϵ 0 r 2 ,     p a r a   r ≥ R

V ∞ = 0

Logo:

V r - 0 = - ∫ ∞ r α R 4 4 ϵ 0 r 2 d r = - α R 4 4 ϵ 0 ∫ ∞ r d r r 2

V r = - α R 4 4 ϵ 0 - 1 r ∞ r

V r = α R 4 4 ϵ 0 r

Passo 7

A ideia agora é a seguinte, a partícula de carga q 0 parte do infinito com energia puramente cinética e ela alcançará a distância mínima quando toda a sua energia for transformada em energia potencial.

Dessa forma, pela conservação de energia do sistema:

E a n t e s = E d e p o i s

M V 2 2 = q 0 V r

Substituindo a expressão do potencial:

M V 2 2 = q 0 α R 4 4 ϵ 0 r

Reorganizando os termos, teremos o seguinte:

r = q 0 α R 4 2 ϵ 0 M V 2

Resposta

a

E A → = α R 2 400 ϵ 0 r ^

b

E B → = α R 2 16 ϵ 0 r ^

c

V B - V A = 143 120   α R 3 4 ϵ 0

Exercícios de Livros Relacionados

Considere uma carga pontual q = 1,0 μC, o ponto A a uma distância d 1 = 2,0m de q e o ponto B a uma distância d 2 = 1,0m de q. (a) Se A e B estão diametralmente opostos, como na figura da esquerda aba
A figura (a) mostra duas partículas carregadas. A partícula 1, de carga q 1 , é mantida fixa no lugar a uma distância d da origem. A partícula 2, de carga q 2 , pode ser deslocada ao longo do eixo x.
Na figura (a), uma partícula de carga +e está inicialmente no ponto z = 20 nm do eixo de um dipolo elétrico, do lado positivo do dipolo. (A origem do eixo zé o centro do dipolo.) A partícula é desloca
A figura (a) mostra três partículas no eixo x. A partícula 1 (com uma carga de +5,0 μC) e a partícula 2 (com uma carga de +3,0 μC) são mantidas fixas no lugar, separadas por uma distância d = 4,0 cm.
Um pósitron (carga + e , massa igual à do elétron) está se movendo com uma velocidade de 1 , 0 · 10 7m / s no sentido positivo do eixo x quando, em x = 0 , encontra um campo elétrico paralelo ao eixo