Exercícios Resolvidos de Potencial Elétrico Gerado por Carga Pontual

UFRJ-P1-2010.2-ME01

Considere o seguinte corte perpendicular a uma família de quatro superfícies equipotenciais, associadas a um campo eletrostático. Assinale a opção que melhor indica o vetor campo elétrico em cada um dos pontos A e B, respectivamente.

Passo 1

Sabemos que o campo aponta do maior potencial para o menor. Isto advém do estudo da fórmula:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Onde o delta V tem sinal trocado da integral do campo. Ou seja, deste fato já sabemos que os campos em A e B apontam pra baixo.

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Passo 2

Agora vem a parte difícil... Dois jeitos de fazer. Vamos ver qual você prefere. Podemos tratar com qualquer uma das duas fórmulas:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

E → = - ∇ V

O que você tem que saber fazer é uma análise qualitativa dessas duas fórmulas.

Passo 3

Vamos pegar a primeira. Fazer uma análise qualitativa significa que você pode chutar algumas particularizações que não comprometam a sua análise. Ou seja, são particularizações genéricas o suficiente (hahahah) pra você conseguir pensar sem estragar o problema. É sério isso. Vamos lá, vai ficar mais claro na prática. Uma boa é nós pegarmos a primeira fórmula e chutarmos que o campo é uniforme. Por conta disso ele vai sair do produto escalar e da integral:

Δ V = - ∫ C E → ∙ d r →

Δ V = - E ∫ C d r

Não tem problema fazer esta particularização porque só queremos uma aproximação. Fazendo a integral para dois caminhos: um passando por A e outro passando por B , temos:

A diferença de potencial nos caminhos é igual.

Δ V = - E A ∫ C A d r

Δ V = - E B ∫ C B d r

Temos então:

Δ V = - E A C A

Δ V = - E B C B

Entretanto, temos claramente que:

C A < C B

Logo, igualando:

E A C A = E B C B

Único jeito dessas coisas serem iguais é:

E A > E B

Fim de papo. Chegamos à resposta já! Mas vamos ver como seria da outra forma...

Passo 4

ALTERNATIVAMENTE, usando a outra fórmula temos: E → = - ∇ V

Que o campo em um ponto é o gradiente do potencial naquele ponto. Como o gradiente são derivadas parciais:

∇ = ∂ ∂ x , ∂ ∂ y , ∂ ∂ z

A gambiarra neste caso é aproximar as derivadas com variações discretas. Já vai ficar claro, na real é +/- intuitivo. Como só importa o campo na direção do eixo y (finge que tem um eixo y lá):

E y = - Δ V Δ y

Ou seja, o campo é a razão entre a variação do potencial e a variação da altura entre os dois pontos. Na região de A temos uma variação menor, portanto:

Δ y A < Δ y B

Já a variação do potencial é igual pros dois:

Δ V Δ y A > Δ V Δ y B

E A > E B

Ah, mas e o sinal de menos? Não importa nesse caso pois nós já sabemos que aponta pra baixo e só estamos preocupados com o módulo mesmo.

Resposta

Letra d

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