A densidade linear de carga ao longo do eixo x é dada por:

λ x = - λ ,     s e   x < - a , λ ,     s e   x > a , 0 ,       c a s o   c o n t r á r i o

onde λ > 0 e a > 0 são constantes.

a ) Calcule o campo elétrico E → num ponto P sobre o eixo y .

b ) Adotando-se potencial nulo na origem O , calcule o potencial num ponto P sobre o eixo y .

c ) Considere os pontos O = 0 ,   0 ,   0 , A = a 2 ,   0 ,   0 e P = 0 ,   a ,   0 . Qual é o trabalho efetuado pela força elétrica para levar uma carga q ao longo do percurso fechado O A P O ?

Passo 1

a ) Calcule o campo elétrico E → num ponto P sobre o eixo y .

Beleza! O segredo aqui é começar escrevendo a e expressão do campo elétrico d E → gerado por uma carga d q :

d E → = 1 4 π ϵ 0 d q r 2   r ^

Como r ^ = r → / r , nós podemos reescrever esse cara como:

d E → = 1 4 π ϵ 0 d q r 3   r →

Agora temos que levar em conta as duas linhas carregadas :

Daqui podemos tirar algumas coisas:

r → = - x i → + y j →

r = x 2 + y 2

Além disso, para a linha da esquerda d q = - λ d x e, para o fio da direita, d q = λ d x .

Substituindo na expressão de d E → teremos:

d E → = 1 4 π ϵ 0 - λ - x i → + y j → x 2 + y 2 3 2 d x + λ - x i → + y j → x 2 + y 2 3 2 d x

O primeiro termo se refere ao fio da esquerda e o segundo se refere ao fio da direita.

Passo 2

Para encontrar a expressão do campo elétrico, basta integrar o primeiro termo de - ∞ até - a e o segundo termo se a até .

E → = λ 4 π ϵ 0   - ∫ - ∞ - a - x i → + y j → x 2 + y 2 3 2 d x + ∫ a ∞ - x i → + y j → x 2 + y 2 3 2 d x

Eu sei que, olhando, essas integrais parecem ser muito chatas de resolver... e são. Mas elas aparecem frequentemente nesse tipo de problema, então vamos tentar dar uma simplificada nesse cara.

Decompondo os vetores, podemos ver que as componentes verticais se cancelam e as componentes horizontais se somam. Assim, podemos simplificar a expressão para E → , cancelando os termos verticais.

Logo:

E → = λ 4 π ϵ 0   ∫ - ∞ - a x x 2 + y 2 3 2 d x - ∫ a ∞ x x 2 + y 2 3 2 d x i →

Agora é só integrar esse cara. Ele pode ser resolvido com uma substituição simples.

E → = λ 4 π ϵ 0   - 1 x 2 + y 2 - ∞ - a - - 1 x 2 + y 2 a ∞ i →

Agora é só organizar esse cara.

E → = λ 4 π ϵ 0   - 1 a 2 + y 2 - 1 a 2 + y 2 i →

E → = - λ 4 π ϵ 0 2 a 2 + y 2 i →  

E → = - λ 2 π ϵ 0 1 a 2 + y 2 i →

Passo 3

b ) Adotando-se potencial nulo na origem O , calcule o potencial num ponto P sobre o eixo y .

Por definição, o potencial está associado ao campo elétrico por:

Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

Como temos que calcular o potencial ao longo do eixo y , d r → = d y j → . Substituindo E → e d r → na expressão de Δ V , teremos:

Δ V = - ∫ 0 y - λ 2 π ϵ 0 1 a 2 + y 2 i → ∙ d y j → = 0

Obs.: O resultado vai ser zero pois i → ∙ j → = 0 .

Passo 4

c ) Considere os pontos O = 0 ,   0 ,   0 , A = a 2 ,   0 ,   0 e P = 0 ,   a ,   0 . Qual é o trabalho efetuado pela força elétrica para levar uma carga q ao longo do percurso fechado O A P O ?

Como a força eletrostática é uma força conservativa, o trabalho para levar a carga q ao longo de um caminho que começa e termina no mesmo lugar será nulo. Logo:

Δ W = 0

Resposta

a )

E → = - λ 2 π ϵ 0 1 a 2 + y 2 i →

b )

Δ V = 0

c )

Δ W = 0

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