Enunciado

Dois planos infinitos P 1 e P 2 , paralelos entre si, de densidades superficiais – σ e 2 σ σ > 0 , estão localizados respectivamente em z = 0 e z = d .

a Calcule detalhadamente o campo elétrico produzido apenas pelo plano P 1 , tanto para z > 0 como para z < 0 .

b De posse desse resultado, encontre o campo elétrico produzido pelos 2 planos na região 0 < z < d .

c Determine a diferença de potencial entre o plano P 1 e o plano P 2 , ou seja, V P 1 - V P 2 .

Passo 1

a Calcule detalhadamente o campo elétrico produzido apenas pelo plano P 1 , tanto para z > 0 como para z < 0 .

Vamos lá!

Por conta da simetria do problema, por se tratar de um plano infinito, o campo elétrico sempre terá direção perpendicular ao plano e o campo elétrico será constante, independente da coordenada x , y , z .

Além disso, por conta da simetria do plano, podemos dizer que:

E → 1 - z = - E → 1 z

Até aí, beleza, mas como vamos calcular o campo elétrico?

Eu sei que você pensou o mesmo que eu... lei de Gauss.

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Como gaussiana, vamos pensar em um cilindro de área transversal A , cujo eixo de simetria é perpendicular ao plano infinico P 1 .

De acordo com a lei de Gauss, o fluxo elétrico através da gaussiana é dado por:

ϕ E = ∯ G   E → ∙ d A →

Passo 2

O fluxo através da gaussiana só pode ocorrer através da face lateral do cilindro ou através das tampas, concorda?

Logo:

ϕ E = ∬ t a m p a s E → 1 ∙ d A → + ∬ l a t e r a l E → 1 ∙ d A →

Mas se tanto E → 1 quanto o eixo de simetria da gaussiana são perpendiculares ao plano P 1 , logo:

E → 1 ⊥ d A → l a t e r a l

E → 1 ∙ d A → l a t e r a l = 0

Assim, o fluxo elétrico se dará apenas nas tampas.

ϕ E = ∬ t a m p a s E → 1 ∙ d A →

Como já dissemos, o campo elétrico é constante, e como a gaussiana possui duas tampas de área A , podemos dizer que:

ϕ E = 2 E 1 A

Passo 3

Ok, agora vamos para o outro lado da lei de Gauss, que diz que o fluxo elétrico através da gaussiana é dado por:

ϕ E = Q i n t ϵ 0

A carga interna está relacionada à densidade de carga – σ por:

- σ = Q i n t A → Q i n t = - σ A

Substituindo na expressão de ϕ E , teremos:

ϕ E = - σ A ϵ 0

Igualando as duas expressões do fluxo elétrico, teremos:

2 E 1 A = - σ A ϵ 0

Finalmente:

E 1 = - σ 2 ϵ 0

Como a densidade de carga é negativa:

- z > 0 :

E → 1 = - σ 2 ϵ 0 z ^

- z < 0 :

E → 1 = σ 2 ϵ 0 z ^

Passo 4

b De posse desse resultado, encontre o campo elétrico produzido pelos 2 planos na região 0 < z < d .

O campo elétrico resultante nessa região será:

E → = E → 1 + E → 2

Se fizermos um desenho desses dois planos

Aqui a gente já vê que o campo elétrico tem que apontar na direção - z ^ .

Nessa região o campo gerado pelo plano P 1 é

E → 1 = - σ 2 ϵ 0 z ^

E, aplicando o mesmo raciocínio para o plano P 2 :

E → 2 = - 2 σ 2 ϵ 0 z ^ = - σ ϵ 0 z ^

Finalmente:

E → = - σ 2 ϵ 0 z ^ - σ ϵ 0 z ^

E → = - 3 σ 2 ϵ 0 z ^

Passo 5

c Determine a diferença de potencial entre o plano P 1 e o plano P 2 , ou seja, V P 1 - V P 2 .

No item anterior, concluímos que o campo elétrico na região entre os planos é dado por:

E → = - 3 σ 2 ϵ 0 z ^

A diferença de potencial está associada ao campo elétrico por:

Δ V = - ∫ C   E → ∙ d r →

Onde 0 < z < d , logo:

Δ V = - - 3 σ 2 ϵ 0 ∫ 0 d d z

Δ V = 3 σ d 2 ϵ 0

Onde Δ V = V P 2 - V P 1 .

V P 2 - V P 1 = 3 σ d 2 ϵ 0

Mas como o problema pediu V P 1 - V P 2 , teremos:

V P 1 - V P 2 = - 3 σ d 2 ϵ 0

Resposta

(a)

- z > 0 :

E → 1 = - σ 2 ϵ 0 z ^

- z < 0 :

E → 1 = σ 2 ϵ 0 z ^

(b)

E → = - 3 σ 2 ϵ 0 z ^

(b) V P 1 - V P 2 = - 3 σ d 2 ϵ 0

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