Na figura à seguir, temos duas partículas (pontuais), com carga q e - q . Aquela de carga q está envolvida por uma superfície (gaussiana) cúbica, com aresta de comprimento a situando-se no centro do cubo. Um segmento de reta, também de comprimento a , perpendicular a uma das faces do cubo, une as duas partículas. Para esse arranjo obteve-se: (I) o fluxo do vetor campo elétrico sobre toda a superfície gaussiana; (II) o fluxo do vetor campo elétrico sobre a face do cubo situada entre as cargas; (III) o potencial elétrico num dos vértices (ponto P) nessa mesma face. Os valores para essas grandezas são:

  1. 2 q / ϵ 0 , q / ( 6 ϵ 0 ) , 0
  2. q / ϵ 0 , q / ( 3 ϵ 0 ) , 0
  3. q / ϵ 0 , 0 , q / ( 3 π a ϵ 0 )
  4. q / ϵ 0 , q / ( 3 ϵ 0 ) , q / ( π a ϵ 0 )
  5. 2 q / ϵ 0 , 0 , q / ( 3 π a ϵ 0 )
  6. 0 , q / ( 6 ϵ 0 ) , q / ( π a ϵ 0 )

Passo 1

  1. Calcular o fluxo do vetor campo elétrico pelo cubo.
  2. Para calcular o fluxo do vetor campo elétrico, podemos aplicar diretamente a lei de Gauss:

    ∯ G E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

    Que diz que o fluxo do vetor campo elétrico por uma Gaussiana fechada qualquer é igual à carga no interior desta superfície dividida por ϵ 0 . Isto significa que cargas no exterior não contribuem para o fluxo total.

    Portanto a primeira grandeza é:

    ϕ G = q ϵ 0

    Pois a carga no interior do cubo é somente q .

    Passo 2

  3. Calcular o fluxo do vetor campo elétrico pela face entre as duas cargas.

Aqui tem uma pegadinha. Vamos tentar calcular somente o fluxo da carga q pela face pedida.

Sabemos que o fluxo total proveniente da carga q é:

ϕ G = q ϵ 0

Mas se o cubo tem seis faces, então o fluxo por uma face só deveria ser somente um sexto deste valor! Por conta da simetria do problema isto é verdade, portanto:

ϕ F = q 6 ϵ 0

Onde F é a face desejada. Ok, beleza, mas não acabou aqui, pois a carga externa - q também faz fluxo nesta face!

Pode parecer confuso, pois o fluxo total da carga - q pela gaussiana (de acordo com a lei de Gauss) deveria ser zero. Isto é fato, entretanto, só porque é zero não significa que o fluxo por cada face individual tenha que ser zero. Na verdade não é. O que ocorre é que a soma dos fluxos dessa carga pela superfície é que dá zero!

Portanto, para chegar neste valor vamos usar um macete de simetria. Como as duas cargas estão dispostas de maneira simétrica e a uma distância igual com relação ao cubo, podemos dizer que o fluxo dela pela face F é igual ao da carga q !

Uma ilustração para essa ideia é a seguinte:

Lembrando que fluxo só pode ser calculado se você tiver arbitrado um sentido para o seu vetor d A → . Como na lei de Gauss nós arbitramos o vetor área apontando para fora da superfície, a carga - q faz um fluxo positivo na face F . Portanto, o fluxo total é:

ϕ t o t a l F = q 6 ϵ 0 + q 6 ϵ 0

ϕ t o t a l F = q 3 ϵ 0

Passo 2

Agora basta aplicarmos a fórmula de potencial elétrico. Não confundir com a energia potencial elétrica.

Para cargas pontuais a fórmula é a seguinte:

V = k q r

Onde r é a distância até o ponto desejado. Como no caso a distância é a mesma tanto para q quanto para - q , somamos:

V P = k r P q + - q

V P = 0

Fim de papo.

Resposta

ϕ G = q ϵ 0

ϕ t o t a l F = q 3 ϵ 0

V P = 0

Letra b.

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