O potencial elétrico em uma região do espaço é dado por V x , y , z = A x 2 + y 2 + z 2 , onde A é uma constante não nula.

a Deduza uma expressão para o campo elétrico E → na região.

b Deduza o trabalho W realizado pela força elétrica sobre uma partícula de carga q , quando esta é deslocada do ponto 0 ,   0 ,   z 0 até o ponto 0 ,   0 , z 0 / 2 .

c Seja agora uma região esférica, centrada na origem, de raio R . Qual a carga no interior dessa superfície?

Obs.: você pode achar útil escrever o campo em coordenadas esféricas.

Passo 1

a Deduza uma expressão para o campo elétrico E → na região.

Por definição, o campo elétrico pode ser calculador por:

E → = - ∇ → V

E → = - ∂ V ∂ x x ^ - ∂ V ∂ y y ^ - ∂ V ∂ z z ^

E → = - 2 x A x ^ - 2 y A y ^ - 2 z A z ^

E → = 2 A - x x ^ - y y ^ - z z ^

Em coordenadas polares, podemos escrever o campo elétrico como:

E → = - 2 A r r ^

Onde r r ^ = x x ^ + y y ^ + z z ^ .

Passo 2

b Deduza o trabalho W realizado pela força elétrica sobre uma partícula de carga q , quando esta é deslocada do ponto 0 ,   0 ,   z 0 até o ponto 0 ,   0 , z 0 / 2 .

Por definição, o trabalho é dado por:

W = ∫ C F → ∙ d l →

Sabendo que F → = q E → , teremos:

W = q ∫ C E → ∙ d l →

Se a carga q é deslocada do ponto 0 ,   0 ,   z 0 até o ponto 0 ,   0 , z 0 / 2 , então d l → = z ^   d z . Sendo assim:

W = q ∫ z 0 z 0 / 2 2 A - x x ^ - y y ^ - z z ^ ∙ z ^   d z

W = - q ∫ z 0 z 0 / 2 2 A z   d z

W = - 2 A q ∫ z 0 z 0 / 2 z   d z

W = - 2 A q z 2 2 z 0 z 0 / 2

W = - A q z 0 2 4 - z 0 2 z 0 z 0 / 2

W = - A q - 3 z 0 2 4

Finalmente:

W = 3 z 0 2 A q 4

Passo 3

c Seja agora uma região esférica, centrada na origem, de raio R . Qual a carga no interior dessa superfície?

Pra calcularmos a carga no interior dessa superfície, vamos recorrer à lei de Gauss, que é dada por:

∯ G   E → ∙ d A → = Q i n t ϵ 0

Como a gaussiana, nesse caso, é a esfera de raio R , é mais jogo aqui usarmos a expressão do campo elétrico com coordenadas polares, dada por:

E → = - 2 A r r ^

Nesse caso, r = R , logo:

E → = - 2 A R r ^

Assim, podemos dar uma simplificada na expressão da lei de Gauss, que vai ficar com essa cara:

- 2 A R r ^ ∙ 4 π R 2 r ^ = Q i n t ϵ 0

- 8 π A R 3 = Q i n t ϵ 0

Q i n t = - 8 π ϵ 0 A R 3

Resposta

a

E → = 2 A - x x ^ - y y ^ - z z ^ = - 2 A r r ^

b

W = 3 z 0 2 A q 4

c

Q i n t = - 8 π ϵ 0 A R 3

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