Exercícios Resolvidos de Primeira Lei da Termodinâmica em Gases

Origem do Exercício

Um cilindro de paredes adiabáticas é dividido em duas partições por um pistão móvel de área A , também adiabático. As partições são preenchidas por n 1 moles do gás 1 e n 2 moles do gás 2, respectivamente. Ambos os gases são ideais e monoatômicos. A base do cilindro contendo o gás 1 é condutora térmica e encontra-se em contato com um reservatório térmico à temperatura T 0 , conforme indicado na figura abaixo. Inicialmente o pistão encontra-se em equilíbrio no centro do cilindro, dividindo-o em dois volumes iguais a V 0 :

  1. Determine a temperatura inicial do gás 1 e do gás 2.
  2. Suponha agora que o pistão é deslocado lentamente por um agente externo até reduzir o volume do gás 2 à metade ( V 0 2 ). Qual a força exercida pelo agente externo na situação final deste processo?
  3. Calcule o calor total recebido pelo gás 1 para o processo descrito no ítem (b).

Passo 1

a)

Por onde começar? Bom, você pode perceber que se os gases possuíssem pressões diferentes, a força resultante no pistão móvel seria não nula, o que faria ele se mover. O caso é que ele não se move.

Então, as pressões são iguais.

Assim:

P = n R T V

Então:

P i = P i i

n 1 R T 1 V 0 = n 2 R T 2 V 0

T 2 = T 1 n 1 n 2

Como o gás 1 se encontra em contato com um reservatório de temperatura T 0 :

T 1 = T 0

Assim:

T 2 = T 0 . n 1 n 2

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

b)

A força do agente externo tem que ser de tal forma que rquilibre a força que surgirá devido à diferença de pressão que aparecerá.

Afinal de contas, as pressões não serão mais iguais, já que um dos gases está sendo comprimido e o outro expandido.

Assim:

F p r e s s ã o = A ( P 2 f i n a l - P 1 f i n a l )

Assim, a força externa tem que ser igual a essa força para que se mantenha o equilíbrio:

F = F p r e s s ã o = A ( P 2 f i n a l - P 1 f i n a l )

Se o deslocamento foi feito lentamente, a temperatura continuou a mesma para o gás 1. Vale lembrar que existe uma transferência de calor do reservatório para o gás 1, nesse caso, já que a fronteira ali não é adiabática. Assim:

P 1 V 1 = P 1 f V 1 f

P 1 f = P 1 V 1 V 1 f

P 1 V 0 3 2 V 0

Então

2 3 P 1 = 2 3 n 1 R T 0 V 0

O volume final é 3 2 V 0 porque a compressão do gás 2 levou à uma expansão de 1 2 V 0 para o gás 1.

Já o gás 2 sofreu uma compressão adiabática, já que a fronteira do gás 2 é adiabática. Assim, devemos usar a equação da transformação adiabática:

P 2 i V 2 i γ = P 2 f V 2 f γ

P 2 f = P 2 i V 2 i V 2 f γ

P 2 i V 0 V 0 2 γ = 2 γ P 2 i

Lembrando que P 2 i = P 1 i :

P 2 f = 2 γ n 1 R T 0 V 0

Show! Agora, substituindo na equação inicial:

F = A P 2 f i n a l - P 1 f i n a l = A 2 γ n 1 R T 0 V 0 - 2 3 n 1 R T 0 V 0

γ = 5 3

F = n A R T 0 V 0 2 5 3 - 2 3

Passo 3

c)

Como em 1 ocorre umas transformação isotérmica, temos:

∆ U = Q - W

∆ U = 0 → Q = W

Assim:

Q = ∫ p d V

p = n R T V

Q 1 = ∫ n R T V d V = n R T l n V f V i = n R T l n 3 2 V 0 V 0 = n R T l n 3 2

Resposta

a)

T 1 = T 0

T 2 = T 0 . n 1 n 2

b)

F = n A R T 0 V 0 2 5 3 - 2 3

c)

Q 1 = n R T l n 3 2

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