Exercícios Resolvidos de Série geométrica

Passo 1

Bom, queremos representar esses números em forma de série geométrica. A gente já viu que a série geométrica é:

∑ k = 0 ∞ r k = 1 1 - r

Com r < 1 .

Quando queremos aproximar algum valor através de uma série, temos que ter noção de que deve haver um erro embutido naquilo ali, como se você estivesse somando pequeníssimas parcelas ao seu número desejado. Então, precisamos corrigir esse erro!

Percebe o seguinte: nessa série que botei aqui em cima, o k está indo pro infinito. Porém, imagina que o número que você quer já apareça quando você para num certo k = p . Então o seu número é:

∑ k = 0 p r k = s e u   n ú m e r o

Opa, mas a gente não sabe nada sobre essa série né? A gente sabe sobre aquela ali de cima. Então vamos trabalhar com ela!

∑ k = 0 ∞ r k = ∑ k = 0 p r k + ∑ k = p + 1 ∞ r k

AEEEE surgiu o cara que representa o nosso número. Vamos atacar agora o cara que representa o nosso erro? Já viu quem ele é?

∑ k = p + 1 ∞ r k

Exatamente, ele é uma série geométrica também! Se a gente manipular a variação do k , teremos que:

∑ k = p + 1 ∞ r k = ∑ k = 0 ∞ r k + p + 1

Notou a diferença? Antes a série começava em p + 1 e agora começa em 0 . Agora, repara o seguinte:

∑ k = 0 ∞ r k + p + 1 = ∑ k = 0 ∞ r k r p + 1

Mas ora bolas, ∑ k = 0 ∞ r k a gente já que vale 1 1 - r . Logo,

∑ k = 0 ∞ r k + p + 1 = r p + 1 1 - r = E R R O

PARA TUDO! Esse SEMPRE vai ser o erro da série geométrica que tem o primeiro termo sendo o número 1 , ok?

Se sua série começar com um cara diferente de 1 , supondo que ele seja a 1 , basta multiplicar o erro pelo a 1 .

No final, tudo vai depender do p , que são quantos termos você vai estar somando na sua série.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Agora que você já está fera nos erros da série geométrica, bora aproximar o 1 99 .

∑ k = 0 ∞ r k = 1 1 - r = 1 99

1 1 - r = 1 99

MASSSS, lembre-se de que r < 1 . O que faremos é pegar a fórmula geral, aquela que inclui o caso do primeiro termo não ser 1 (que seja um a 1 , por exemplo). Se fizermos isso, a mudança será assim:

∑ k = 0 ∞ r k a 1 = 1 99 = 1 1 - r

1 1 - r = a 1 99

O truque aqui é fazer aparece esse 99 no denominador também. Se a gente escolher o r = 0,01 , teremos:

1 1 - 0,01 = a 1 99

1 0,99 = a 1 99

a 1 = 100

Logo, nossa série será:

∑ k = 0 ∞ 0,01 k 100

E o nosso erro:

E R R O = r p + 1 1 - r = ( 0,01 ) p + 1 100 0,99

Portanto:

1 99 = ∑ k = 0 p 0,01 k 100 ± ( 0,01 ) p + 1 10 4 99

Passo 3

Vamos fazer os mesmos procedimentos para - 1 24 .

∑ k = 0 ∞ r k a 1 = - 1 24 = 1 1 - r

1 1 - r = - a 1 24

Podemos escolher r = 0,76 para que apareça facilmente um 24 no denominador.

1 1 - 0,76 = - a 1 24

1 0,24 = - a 1 24

a 1 = - 100

E então nossa série vai ser:

∑ k = 0 ∞ 0,76 k - 100

E o nosso erro:

E R R O = r p + 1 1 - r = 0,76 p + 1 ( - 100 ) 0,24

Portanto:

- 1 24 = ∑ k = 0 p 0,76 k - 100 ∓ ( 0,76 ) p + 1 10 4 24

Resposta

1 99 = ∑ k = 0 p 0,01 k 100 ± ( 0,01 ) p + 1 10 4 99

- 1 24 = ∑ k = 0 p 0,76 k - 100 ∓ ( 0,76 ) p + 1 10 4 24

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