Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

3) Ache os valores de x para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma das séries (como uma função de x ) para esses valores de x .

c) ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos achar os valores de x que tornam a série geométrica é convergente. Também vamos achar o valor da soma.

Lembrando que a série geométrica pode ser representada por:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a + a r + a r 2 + …

Se r < 1 , a série geométrica é convergente e sua soma é dada por:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

Se r ≥ 1 , a série geométrica é divergente.

Passo 2

Vamos precisar fazer algumas manipulações pra deixar a série dada com a carinha da série geométrica, né?

A gente pode colocar o 3 pra dentro dos parênteses para deixar na mesma potência:

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n = ∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n

A gente pode agrupar dentro de uns parênteses, já que tem a mesma potência, né?

∑ n = 0 ∞ - 1 n x 3 n = ∑ n = 0 ∞ - x 3 n

A gente pode tirar um " x 3 " dos parênteses e aumentar o índice do somatório e ficar com:

∑ n = 0 ∞ - x 3 n = ∑ n = 1 ∞ x 3 - x 3 n - 1

Passo 3

Agora ficou com carinha de série geométrica, né?

Temos que:

a = x 3

E que:

r = - x 3

Pra que a série geométrica seja convergente, r < 1 , então:

- x 3 < 1

x 3 < 1

x < 1

E para a soma da série temos:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

∑ n = 1 ∞ x 3 - x 3 n - 1 = x 3 1 + x 3

Resposta

x < 1

x 3 1 + x 3

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