Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

Encontre a soma da série

∑ n = 1 ∞ 5 n + 2 n + 2 3 2 n + 1

Passo 1

Oi, tudo bem?

O problema nos deu essa série aqui:

∑ n = 1 ∞ 5 n + 2 n + 2 3 2 n + 1

E perguntou qual é a soma dela.

Uma dica bem legal para resolver esse tipo de questão é identificar se temos algo do tipo a q n , e lembrar da série geométrica!

A série geométrica é uma série desse tipo aqui

∑ n = 1 ∞ a q n = a q ⏝ a 1 + a q 2 + a q 3 + …

Se q < 1 , então essa série converge e podemos achar a soma dela! A soma da série geométrica (quando somamos infinitos termos) é:

s ∞ = a 1 1 - q

Então a ideia aqui é o seguinte: manipular essa série para que tenhamos uma série geométrica (com um q apenas) e assim achar a soma!

Mas relaxa! Vou fazer passo a passo com você!

Passo 2

A série dada foi essa aqui:

∑ n = 1 ∞ 5 n + 2 n + 2 3 2 n + 1

Para manipular e forma mais fácil, vamos esquecer por alguns momentos o somatório:

5 n + 2 n + 2 3 2 n + 1

Aqui podemos dividir em duas frações:

5 n 3 2 n + 1 ⏝ 1 º   t e r m o + 2 n + 2 3 2 n + 1 ⏝ 2 º   t e r m o

Lembrando que o somatório de uma soma é a soma dos somatórios, então fica tranquilo separar em dois termos. A soma da série original vai ser a soma dessas duas séries, beleza?

Tranquilo até aqui?

Passo 3

Vamos trabalhar o primeiro termo?

5 n 3 2 n + 1 = 5 n 3.3 2 n = 5 n 3.9 n = 1 3 5 9 n

Pronto! Transformamos esse primeiro termo em algo do tipo a q n , com q = 5 9 < 1 , então a série converge e podemos achar a soma dela!

Trazendo o somatório de volta:

∑ n = 1 ∞ 1 3 5 9 n = 1 3 5 9 + 1 3 5 9 2 + …

Assim nosso a 1 = 5 / 27 e q = 5 / 9 e para descobrir a soma, basta substituir esses valores na fórmula da soma:

s ∞ = a 1 1 - q = 5 / 27 1 - 5 / 9 = 5 / 27 4 / 9 = 5 27 . 9 4 = 5 12

Beleza?

Bora trabalhar no segundo termo?

Passo 4

O segundo termo era:

2 n + 2 3 2 n + 1 ⏝ 2 º   t e r m o

A ideia aqui é fazer manipulações bem parecidas com as do primeiro termo, até obtermos algo do tipo a q n , ok?

2 n + 2 3 2 n + 1 = 2 2 . 2 n 3.3 2 n = 4.2 n 3.9 n = 4 3 2 9 n

Voltando com o somatório, temos o seguinte:

∑ n = 1 ∞ 4 3 2 9 n = 4 3 2 9 + 4 3 2 9 2 + 4 3 2 9 3 + …

Para essa série geométrica a 1 = 8 / 27 e q = 2 / 9 . O próximo passo é calcular a soma:

s ∞ = 8 / 27 1 - 2 / 9 = 8 / 27 7 / 9 = 8 27 . 9 7 = 8 21

Passo 5

Por fim, vamos retomar a soma original:

∑ n = 1 ∞ 5 n + 2 n + 2 3 2 n + 1

Manipulamos e conseguimos separar em duas séries:

∑ n = 1 ∞ 5 n + 2 n + 2 3 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 3 5 9 n + ∑ n = 1 ∞ 4 3 2 9 n

No passo 3 encontramos que a soma do primeiro termo é 5 / 12 e no passo 4 a soma do segundo é 8 / 21 . Agora é só somar essas duas frações:

∑ n = 1 ∞ 5 n + 2 n + 2 3 2 n + 1 = ∑ n = 1 ∞ 1 3 5 9 n + ∑ n = 1 ∞ 4 3 2 9 n

∑ n = 1 ∞ 5 n + 2 n + 2 3 2 n + 1 = 5 12 + 8 21 = 105 + 96 252 = 201 252 = 67 84

Ufa! Terminamos! Então a soma da série é 67 84 .

Espero ter ajudado! Até próxima!

Resposta

67 84

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