Exercícios Resolvidos de Série geométrica

Calcule a soma da série

∑ k = 1 ∞ 6.2 k 2 + 7 k 3 8 k

Passo 1

Primeiramente vamos separar essa série em duas.

∑ k = 1 ∞ 6.2 k 2 + 7 k 3 8 k = ∑ k = 1 ∞ 6 . 2 k 2 8 k +   ∑ k = 1 ∞ 7 k 3 8 k

Agora temos que calcular o valor de cada soma.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Expandindo a primeira soma

S 1 = ∑ k = 1 ∞ 6 . 2 k 2 8 2 k 2 = ∑ k = 1 ∞ 6 . 2 64 k 2 = ∑ k = 1 ∞ 6 . 1 32 k 2

S 1 = 6 1 32 1 2 + 1 32 + 1 32 3 2 + 1 32 2 + …

Fica fácil de perceber que temos uma soma de PG de razão 1 32 1 2 . Lembrando a fórmula da soma da PG para razão menor do que 1.

s = a 1 1 - q

S 1 = 6 1 32 1 2 1 - 1 32 1 2 = 6 4 2 - 1

Passo 3

Analisando a segunda soma

S 2 = ∑ k = 1 ∞ 7 k 3 8 k = ∑ k = 1 ∞ 7 1 3 8 k  

Disso nós já podemos ver que temos uma PG de razão 7 1 3 8 e primeiro termo 7 1 3 8 . Logo

S 2 = 7 1 3 8 1 - 7 1 3 8 = 7 1 3 8 - 7 1 3

Logo o resultado da soma inicial será

S = S 1 + S 2

S = 6 4 2 - 1 + 7 1 3 8 - 7 1 3

Resposta

S = 6 4 2 - 1 + 7 1 3 8 - 7 1 3

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