Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

2) Quais das séries convergem e quais divergem? Se uma série convergir, calcule a sua soma.

a) 3 + 3 3 + 3 9 + 3 2 7 + … + 3 3 n - 1 + …

Passo 1

Falaaa... nessa questão vamos dizer se a série converge ou diverge. Se convergir, calculamos a soma.

Pra verificar se uma série converge ou diverge, primeiro verificamos se ela se encaixo numa série geométrica:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a + a r + a r 2 + …

Se r < 1 , a série geométrica é convergente e sua soma é dada por:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

Se r ≥ 1 , a série geométrica é divergente.

Maaas se a série não for geométrica, usamos a definição padrão que é: Dada uma série:

∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + … + a n

E sua soma:

s n = ∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + … + a n

Se s n for convergente e lim n → ∞ ⁡ s n = s   existir como um número real, então a série ∑ n = 1 ∞ a n é convergente. O número s é a soma da série.

Caso contrário, a série é divergente.

Passo 2

Podemos escrever essa série como somatório:

∑ n = 1 ∞ 3 1 3 n - 1

E daí temos uma série geométrica com:

a = 3

E com:

r = 1 3

Como r < 1 , então série é convergente.

Passo 3

Para calcular a soma, usamos:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

∑ n = 1 ∞ 3 1 3 n - 1 = 3 1 - 1 3

= 3 2 3

= 9 2

Resposta

Convergente

Soma = 9 / 2

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