Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

Seja a n = ∑ k = 1 n 1 3 k . Qual é o limite lim n → ∞ ⁡ a n ?

Escolha uma opção:

  1. 1
  2. 1 2
  3. 2 3
  4. 3 2
  5. - 1 2

Passo 1

Oi pessoal, tudo bem? Vamos começar?

O problema deu um termo geral que envolve um somatório de n termos

a n = ∑ k = 1 n 1 3 k

e nos pediu qual é o limite quando n → ∞ , ou seja, quando somamos infinitos números...

Como assim soma de infinitos números? Sim, quando temos uma série geométrica (e é esse o nome de um a n do tipo a 1 r k , com r < 1 ), nossa querida e antiga progressão geométrica que aprendemos no colégio (PG para os íntimos...), então a soma dos infinitos termos é um número finito!

Temos até uma fórmula para isso! Saca só:

s ∞ = a 1 1 - r

Onde o a 1 é o primeiro termo da série e r é a razão, ou seja, é o fator que vai multiplicar cada termo para achar o próximo.

A ideia aqui é abrir um pouco o somatório para saber quem são a 1 e r para aplicar essa fórmula

Mas calma, vou fazer passo a passo com você!

Vamos lá?

Passo 2

Nossa série é:

∑ k = 1 n 1 3 k

Abrindo alguns termos temos (é só ir colocando o n = 1 ,   2,3 … e ir somando os termos)

∑ n = 1 ∞ 1 3 n = 1 3 1 + 1 3 2 + 1 3 3 + … = 1 3 + 1 9 + 1 27 + …

Notem que do primeiro termo para o segundo foi multiplicado por um fator de 2 / 3 , do segundo para o terceiro 2 / 3 , assim como do terceiro para o quarto...

Então achamos a nossa PG!

1 3 + 1 9 + 1 27 + … ⏝ P G   d e   r a z ã o   r = 2 / 3

Assim a soma de todos esses valores será a soma da PG infinita de razão r = 1 / 3 e primeiro termo a 1 = 1 / 3 !

Passo 3

Agora vamos para a soma da PG

S ∞ = a 1 1 - r

Como a 1 = 1 / 3 e r = 1 / 3 agora é só jogar esses valores na fórmula e correr para o abraço:

S ∞ = 1 / 3 1 - 1 3 = 1 / 3 2 3

S ∞ = 1 3 . 3 2 = 1 2

Então a soma da sequência é 1 2

Beleza? Espero ter ajudado!

Até a próxima!

Resposta

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