Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

2) Quais das séries convergem e quais divergem? Se uma série convergir, calcule a sua soma.

g) 1 2.3 + 1 3.4 + 1 4.5 + … + 1 n + 1 n + 2 + …

Passo 1

Falaaa... nessa questão vamos dizer se a série converge ou diverge. Se convergir, calculamos a soma.

Essa não é uma série geométrica, então voltamos pra definição geral que é se temos uma série:

∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + …

Denotamos por s n a sua n -ésima soma parcial:

s n = ∑ i = 1 n a i = a 1 + a 2 + … + a n

Se a sequência s n for convergente e se lim n → ∞ ⁡ s n = s existir como um número real, então a série ∑ a n é convergente e sua soma é dada por s .

Caso contrário, a série é dita divergente.

Bora pro exercício pra enxergar melhor.

Passo 2

Para a soma parcial:

s n = ∑ i = 1 n 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 1 2.3 + 1 3.4 + 1 4.5 + … + 1 n + 1 n + 2

Primeiro vamos dividir esse termo geral em frações parciais:

1 n + 1 n + 2 = A n + 1 + B n + 2

1 n + 1 n + 2 = A n + 2 + B n + 1 n + 1 n + 2

1 n + 1 n + 2 = A + B n + 2 A + B n + 1 n + 2

Ficamos com o sistema:

A + B = 0 2 A + B = 1

Resolvendo:

A = 1

B = - 1

Então ficaremos com:

1 n + 1 n + 2 = 1 n + 1 - 1 n + 2

Passo 3

Vamos fazer essa soma parcial na mão pra ver um negócio:

s n = ∑ i = 1 n 1 ( n + 1 ) ( n + 2 ) = 1 2.3 + 1 3.4 + 1 4.5 + … + 1 n + 1 n + 2

= ∑ i = 1 n 1 i + 1 - 1 i + 2 = 1 2 - 1 3 + 1 3 - 1 4 + 1 4 - 1 5 + … + 1 n + 1 - 1 n + 2

Repare que tem um monte de + e – com números iguais, então eles vão se cancelar, né? Sobrando somente o primeiro número e o último:

s n = 1 2 - 1 n + 2

Agora calculamos o limite pra quando isso vai pro infinito:

lim n → ∞ ⁡ 1 2 - 1 n + 2 = 1 2

Como a sequência s n é convergente e o limite é um número real, então a série é convergente e sua soma vale ½.

Resposta

Convergente

Soma = 1/2

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