Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

2) Quais das séries convergem e quais divergem? Se uma série convergir, calcule a sua soma.

e) ∑ n = 0 ∞ 1 x n ,   x > 1

Passo 1

Falaaa... nessa questão vamos dizer se a série converge ou diverge. Se convergir, calculamos a soma.

Pra verificar se uma série converge ou diverge, primeiro verificamos se ela se encaixo numa série geométrica:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a + a r + a r 2 + …

Se r < 1 , a série geométrica é convergente e sua soma é dada por:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

Se r ≥ 1 , a série geométrica é divergente.

Maaas se a série não for geométrica, usamos a definição padrão que é: Dada uma série:

∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + … + a n

E sua soma:

s n = ∑ n = 1 ∞ a n = a 1 + a 2 + … + a n

Se s n for convergente e lim n → ∞ ⁡ s n = s   existir como um número real, então a série ∑ n = 1 �� a n é convergente. O número s é a soma da série.

Caso contrário, a série é divergente.

Passo 2

Nessa já temos o somatório montado, então só precisamos deixar ela com a cara da série geométrica...

Ahhhhh... super atenção. Repara que o somatório está começando em 0 , mas a série geométrica só começa em 1, né?

Então vamos teríamos uma série assim:

∑ n = 0 ∞ 1 x n = 1 + 1 x + 1 x 2 …

Queremos que apareça x - 1 nos expoentes, né?

Pooo... Então já temos o nosso a :

a = 1

Se reescrevermos, então, como:

∑ n = 0 ∞ 1 x n = ∑ n = 1 ∞ ( 1 ) 1 x n - 1

E daí temos uma série geométrica com:

a = 1

E com:

r = 1 x

Como |x|>1, então r < 1 . Portanto, a série é convergente.

Passo 3

Para calcular a soma, usamos:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

∑ n = 1 ∞ 1 1 x n - 1 = 1 1 - 1 x

= x x - 1

Resposta

Convergente

Soma = x x - 1

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