Exercícios Resolvidos de Série geométrica

Séries

Dizer se a série ∑ n = 0 + ∞ - 3 n + 1 π n converge ou diverge. No caso da série convergir, calcular o valor de sua soma.

Passo 1

Nessa questão, nós poderíamos usar alguns testes de convergência, mas vamos usar um raciocínio que já ajuda com a segunda parte da questão: vamos tentar ver essa série como uma série geométrica.

Porque isso? Simplesmente porque temos, tanto no numerador, quanto no denominador, números elevados a potências de n . Vamos juntar tudo isso dentro da mesma potência n :

- 3 n + 1 π n = - 3 - 3 n π n = - 3   - 3 π n

Temos, então, o seguinte:

∑ n = 0 + ∞ - 3 n + 1 π n = ( - 3 ) ∑ n = 0 + ∞ - 3 π n

Ou seja, ( - 3 ) vezes a soma de uma série geométrica de razão r = - 3 π . Como r < 1 , sabemos que essa série converge, então a primeira parte da questão já está respondida!

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Essa parte é aplicação de fórmula mesmo. Lembra da fórmula da soma geométrica? Nós vimos que a soma de uma série geométrica começando em n = 0 é 1 1 - r , ou seja:

∑ n = 0 ∞ r n = 1 + r + r 2 + … = 1 1 - r

Como no problema temos r = - 3 π , podemos escrever o seguinte:

S = - 3 ∑ n = 0 + ∞ - 3 π = - 3 1 1 + 3 π

S = - 3 π π + 3

Resposta

A série converge e sua soma é igual a

- 3 π π + 3

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