Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

3) Ache os valores de x para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma das séries (como uma função de x ) para esses valores de x .

b) ∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x - 3 n

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos achar os valores de x que tornam a série geométrica é convergente. Também vamos achar o valor da soma.

Lembrando que a série geométrica pode ser representada por:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a + a r + a r 2 + …

Se r < 1 , a série geométrica é convergente e sua soma é dada por:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

Se r ≥ 1 , a série geométrica é divergente.

Passo 2

Vamos precisar fazer algumas manipulações pra deixar a série dada com a carinha da série geométrica, né?

A gente pode agrupar dentro de uns parênteses, já que tem a mesma potência, né?

∑ n = 0 ∞ - 1 2 n x - 3 n = ∑ n = 0 ∞ 3 - x 2 n

A gente pode tirar um " ( 3 - x ) / 2 " dos parênteses e aumentar o índice do somatório e ficar com:

∑ n = 0 ∞ 3 - x 2 n = ∑ n = 0 ∞ 3 - x 2 3 - x 2 n - 1

Passo 3

Agora ficou com carinha de série geométrica, né?

Temos que:

a = 3 - x 2

E que:

r = 3 - x 2

Pra que a série geométrica seja convergente, r < 1 , então:

3 - x 2 < 1

Que dividimos em dois casos, por causa do módulo:

- Primeiro caso:

3 - x 2 < 1

3 - x < 2

x > 1

- Segundo caso:

- 3 - x 2 < 1

- 3 + x < 2

x < 5

Então os valores de x para que a série seja convergente são x ∈ 1,5 .

E para a soma da série temos:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

∑ n = 1 ∞ 3 - x 2 3 - x 2 n - 1 = 3 - x 2 1 - 3 - x 2

= 3 - x 2 2 - 3 + x 2

= 3 - x - 1 + x

= x - 3 x - 1

Resposta

x ∈ 1,5

x - 3 x - 1

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