Exercícios Resolvidos de Série geométrica

UNICAMP - Cálculo 3 - P3 2010.2 - 2c

( c ) A série

∑ n = 2 ∞ 1 2 n

é convergente? Caso positivo, calcule a sua soma (o limite das somas parciais).

Passo 1

Bom, de cara esta é uma série geométrica, com raio r = 1 / 2 . Olha só:

∑ n = 2 ∞ 1 2 n = ∑ n = 2 ∞ 1 2 n

Como r < 1 , ela é convergente.

MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETA

Passo 2

Olha o truque agora: vamos chamar esse somatório de S :

S = ∑ n = 2 ∞ 1 2 n

Então pra escrever o bom e velho somatório começando de n = 0 , fica assim:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 + 1 2 + ∑ n = 2 ∞ 1 2 n

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 + 1 2 + S

Ou seja:

∑ n = 2 ∞ 1 2 n = S

Passo 3

Viu? Mas para a série geométrica começando em n = 0 , temos que:

∑ n = 0 ∞ 1 2 n = 1 1 - r = 1 1 - 1 / 2 = 2

Então é só calcular ali em cima e correr pro abraço...

1 + 1 2 + S = 2

S = 1 2

Resposta

Convergente, S = 1 2

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