Exercícios Resolvidos de Série geométrica

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Enunciado

3) Ache os valores de x para os quais a série geométrica dada converge. Encontre também a soma das séries (como uma função de x ) para esses valores de x .

a) ∑ n = 0 ∞ 3 n x n

Passo 1

Falaaa... beleza???

Nessa questão vamos achar os valores de x que tornam a série geométrica é convergente. Também vamos achar o valor da soma.

Lembrando que a série geométrica pode ser representada por:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a + a r + a r 2 + …

Se r < 1 , a série geométrica é convergente e sua soma é dada por:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

Se r ≥ 1 , a série geométrica é divergente.

Passo 2

Vamos precisar fazer algumas manipulações pra deixar a série dada com a carinha da série geométrica, né?

A gente pode agrupar dentro de uns parênteses, já que tem a mesma potência, né?

∑ n = 0 ∞ 3 n x n = ∑ n = 0 ∞ 3 x n

A gente pode tirar um " 3 x " dos parênteses e aumentar o índice do somatório e ficar com:

∑ n = 0 ∞ 3 x n = ∑ n = 1 ∞ 3 x 3 x n - 1

Passo 3

Agora ficou com carinha de série geométrica, né?

Temos que:

a = 3 x

E que:

r = 3 x

Pra que a série geométrica seja convergente, r < 1 , então:

3 x < 1

x < 1 3

E para a soma da série temos:

∑ n = 1 ∞ a x n - 1 = a 1 - r

∑ n = 1 ∞ ( 3 x ) ( 3 x ) n - 1 = 3 x 1 - 3 x

Resposta

x < 1 3

3 x 1 - 3 x

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